设数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,点(Sn+1,Sn)在直线﹣=1,其中n∈N*(I)求数列{an}的通项公式;(II)设Tn=+﹣2,证明:≤T1+T2+T3+…+Tn<3.-高三数学

题目简介

设数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,点(Sn+1,Sn)在直线﹣=1,其中n∈N*(I)求数列{an}的通项公式;(II)设Tn=+﹣2,证明:≤T1+T2+T3+…+Tn<3.-高三数学

题目详情

设数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,点(Sn+1,Sn)在直线=1,其中n∈N*
(I)求数列{an}的通项公式;
(II)设Tn=+﹣2,证明:≤T1+T2+T3+…+Tn<3.
题型:解答题难度:中档来源:湖北省期末题

答案

(I)解:∵点(Sn+1,Sn)在直线 ﹣ =1,
 
∴数列{ }构成以2为首项,1为公差的等差数列
 =2+(n﹣1)=n+1
∴Sn=n2+n
∴当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=2n,而a1=2
∴an=2n;
(II)证明:∵Sn=n2+n ∴Tn= + ﹣2= 
∵n∈N*,∴Tn>0
∴T1+T2+T3+…+Tn> 
∵T1+T2+T3+…+Tn=2[(1﹣ )+( ﹣ )+…+( )]=3 <3
 ≤T1+T2+T3+…+Tn<3.

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