首页 > 设数列{an}满足a1=a，an+1=can+1-c（n∈N*），其中a，c为实数，且c≠0．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设a=12，c=12，bn=n(1-an)(n∈N*)，求数列{bn

设数列{an}满足a1=a，an+1=can+1-c（n∈N*），其中a，c为实数，且c≠0．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设a=12，c=12，bn=n(1-an)(n∈N*)，求数列{bn

题目简介

设数列{an}满足a1=a，an+1=can+1-c（n∈N*），其中a，c为实数，且c≠0．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设a=12，c=12，bn=n(1-an)(n∈N*)，求数列{bn

题目详情

设数列{an}满足a1=a，an+1=can+1-c（n∈N*），其中a，c为实数，且c≠0．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设a=
1
2
，c=
1
2
，bn=n(1-an)(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn．
题型：解答题难度：中档来源：枣庄一模

答案

（Ⅰ）∵an+1=can+1-c，an+1-1=c（an-1），
∴当a1=a≠1时，{an-1}是首项为a-1，公比为c的等比数列
∴an-1=（a-1）cn-1
当a=1时，an=1仍满足上式．
∴数列{an-1}的通项公式为an=（a-1）cn-1+1（n∈N*）；
（Ⅱ）由（1）得，当a=class="stub"1
2
，c=class="stub"1
2
时，
bn=n(1-an)=n{1-[1-(class="stub"1
2
)n]}=n(class="stub"1
2
)n．
∴Sn=b1+b2++bn=class="stub"1
2
+2×(class="stub"1
2
)2+3×(class="stub"1
2
)3++n×(class="stub"1
2
)n．class="stub"1
2
Sn=(class="stub"1
2
)2+2×(class="stub"1
2
)3++n×(class="stub"1
2
)n+1．
两式作差得class="stub"1
2
Sn=class="stub"1
2
+(class="stub"1
2
)2++(class="stub"1
2
)n-n×(class="stub"1
2
)n+1．
Sn=1+class="stub"1
2
+(class="stub"1
2
)2++(class="stub"1
2
)n-1-n×(class="stub"1
2
)n
=
1-(class="stub"1
2
)n
1-class="stub"1
2
-n×(class="stub"1
2
)n=2×(1-class="stub"1
2n
)-class="stub"n
2n
．
∴Sn=2-class="stub"n+2
2n
．

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