已知数列{an}的前三项分别为a1=5，a2=6，a3=8，且数列{an}的前n项和Sn满足Sn+m=12(S2n+S2m)-(n-m)2，其中m，n为任意正整数．（1）求数列{an}的通项公式及前n

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已知数列{a_n}的前三项分别为a₁=5，a₂=6，a₃=8，且数列{a_n}的前n项和S_n满足Sn+m=

(S2n+S2m)-(n-m)2，其中m，n为任意正整数．
（1）求数列{a_n}的通项公式及前n项和S_n；
（2）求满足Sn2-

an+33=k2的所有正整数k，n．

题型：解答题难度：中档来源：江苏二模

答案

（1）在等式Sn+m=class="stub"1

(S2n+S2m)-(n-m)2中，
分别令m=1，m=2，得
Sn+1=class="stub"1

(S2n+S2)-(n-1)2，①
Sn+2=class="stub"1

(S2n+S4)-(n-2)2，②
②-①，得an+2=2n-3+

S4-S2

，
在等式Sn+m=class="stub"1

(S2n+S2m)-(n-m)2中，
令n=1，m=2，得
S3=class="stub"1

(S2+S4)-1，
由题设知，S2=11，S3=19，
故S4=29，
所以an+2=2n+6，（n∈N*），
即an=2n+2，（n≥3，n∈N*），
又a2=6也适合上式，
故an=

5，n=1

2n+2，n≥2

，即Sn=n2+3n+1，n∈N*．
（2）记Sn2-class="stub"3

an+33=k2，（*）
n=1时，无正整数k满足等式（*）
n≥2时，等式（*）即为（n2+3n+1）2-3（n-10）=k2，
①当n=10时，k=131．
②当n＞10时，则k＜n2+3n+1，
∵k2-（n2+3n）2=2n2+3n+31＞0，
∴k＞n2+3n，
从而n2+3n＜k＜n2+3n+1，
∵n，k∈N*，∴k不存在，从而无正整数k满足等式（*）．
③当n＜10时，则k＞n2+3n+1，
∵k∈N*，∴k≥n2+3n+2，
从而（n2+3n+1）2-3（n-10）≥（n2+3n+2）2．
即2n2+9n-27≤0，
∵n∈N*，∴n=1或2．
n=1时，k2=52，无正整数解；
n=2时，k2=145，无正整数解．
综上所述，满足等式（*）的n，k分别为n=10，k=131．

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已知数列{an}的前三项分别为a1=5，a2=6，a3=8，且数列{an}的前n项和Sn满足Sn+m=12(S2n+S2m)-(n-m)2，其中m，n为任意正整数．（1）求数列{an}的通项公式及前n

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