根据如图所示的程序框图,将输出a,b的值依次分别记为a1,a2,…,an,…,a2008;b1,b2,…,bn,…,b2008.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)写出b1,b2,b3,b4,由此猜

题目简介

根据如图所示的程序框图,将输出a,b的值依次分别记为a1,a2,…,an,…,a2008;b1,b2,…,bn,…,b2008.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)写出b1,b2,b3,b4,由此猜

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根据如图所示的程序框图,将输出a,b的值依次分别记为a1,a2,…,an,…,a2008;b1,b2,…,bn,…,b2008
(Ⅰ)求数列 { an} 的通项公式;
(Ⅱ)写出b1,b2,b3,b4,由此猜想{ bn}的通项公式,并证明你的证明;
(Ⅲ)在 ak与 ak+1中插入bk+1个3得到一个新数列 { cn },设数列 { cn }的前n项和为Sn,问是否存在这样的正整数m,使数列{ cn }的前m项的和Sm=2008,如果存在,求出m的值,如果不存在,请说明理由.
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题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(Ⅰ)a1=1,an+1=an+1,∴{ an}是公差为1的等差数列.∴an=n.
(Ⅱ)b1=0,b2=2,b3=8,b4=26,
猜想bn=3n-1-1.证明如下:bn+1=3bn+2,bn+1+1=3(bn+1),
∴{ bn+1}是公比为3的等比数列.∴bn+1=(b1+1)3n-1=3n-1.则bn=3n-1-1.
(Ⅲ)数列{cn}中,ak项(含ak)前的所有项的和是(1+2+…+k)+(31+32+…+3k-1)=
k(k+1)
2
+
3k-3
2

估算知,当k=7时,其和是28+
37-3
2
=1120<2008
,当k=8时,其和是36+
38-3
2
=3315>2008
,又因为2008-1120=888=296×3,是3的倍数,
故存在这样的m,使得Sm=2008,此时m=7+(1+3+32+…+35)+296=667.

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