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> 正项数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=an+1.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设bn=1an•an+1,数列{bn}的前n项和为Tn,求证:Tn<12.-数学
正项数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=an+1.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设bn=1an•an+1,数列{bn}的前n项和为Tn,求证:Tn<12.-数学
题目简介
正项数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=an+1.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设bn=1an•an+1,数列{bn}的前n项和为Tn,求证:Tn<12.-数学
题目详情
正项数列{a
n
}的前n项和为S
n
,且
2
S
n
=
a
n
+1
.
(Ⅰ)求数列{a
n
}的通项公式;
(Ⅱ)设
b
n
=
1
a
n
•
a
n+1
,数列{b
n
}的前n项和为T
n
,求证:
T
n
<
1
2
.
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
(Ⅰ)∵
2
S
1
=
a
1
+1
,
∴a1=1.
∵an>0,
2
S
n
=
a
n
+1
,
∴4Sn=(an+1)2.①
∴4Sn-1=(an-1+1)2(n≥2).②
①-②,得4an=an2+2an-an-12-2an-1,
即(an+an-1)(an-an-1-2)=0,
而an>0,
∴an-an-1=2(n≥2).
故数列{an}是首项为1,公差为2的等差数列.
∴an=2n-1.
(Ⅱ)
b
n
=
class="stub"1
(2n-1)(2n+1)
=
class="stub"1
2
(
class="stub"1
2n-1
-
class="stub"1
2n+1
)
.
Tn=b1+b2++bn=
class="stub"1
2
(1-
class="stub"1
3
)+
class="stub"1
2
(
class="stub"1
3
-
class="stub"1
5
)++
class="stub"1
2
(
class="stub"1
2n-1
-
class="stub"1
2n+1
)
=
class="stub"1
2
(1-
class="stub"1
2n+1
)<
class="stub"1
2
.
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(Ⅱ)bn=
Tn=b1+b2++bn=