已知数列{an}中,a1=5且an=2an-1+2n-1(n≥2且n∈N*).(1)证明:数列{an-12n}为等差数列;(2)求数列{an}的前n项和Sn.-数学

题目简介

已知数列{an}中,a1=5且an=2an-1+2n-1(n≥2且n∈N*).(1)证明:数列{an-12n}为等差数列;(2)求数列{an}的前n项和Sn.-数学

题目详情

已知数列{an}中,a1=5且an=2an-1+2n-1(n≥2且n∈N*).
(1)证明:数列{
an-1
2n
}
为等差数列;
(2)求数列{an}的前n项和Sn
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)∵数列{
an-1
2n
}
为等差数列
bn=
an-1
2n
b1=class="stub"5-1
2
=2
bn+1-bn=
an+1-1
2n+1
-
an-1
2n

=class="stub"1
2n+1
[(an+1-2an)+1]
=class="stub"1
2n+1
[(2n+1-1)+1]
=1,(6分)
可知,数列{
an-1
2n
}
为首项是2、公差是1的等差数列.(7分)
(2)由(1)知,
an-1
2n
=
a1-1
2
+(n-1)×1

∴an=(n+1)•2n+1.(8分)
∴Sn=(2•21+1)+(3•22+1)+…+(n•2n-1+1)+[(n+1)•2n+1].
即Sn=2•21+3•22+…+n•2n-1+(n+1)•2n+n.
令Tn=2•21+3•22+…+n•2n-1+(n+1)•2n,①
则2Tn=2•22+3•23+…+n•2n+(n+1)•2n+1.②(12分)
②-①,得Tn=-2•21-(22+23++2n)+(n+1)•2n+1=n•2n+1.
∴Sn=n•2n+1+n=n•(2n+1+1).(15分)

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