等比数列{an}为递增数列,且a4=23,a3+a5=209,数列bn=log3an2(n∈N*)(1)求数列{bn}的前n项和Sn及其最小值;(2)若Tn=b1+b2+b22+…+b2n-1,求Tn

题目简介

等比数列{an}为递增数列,且a4=23,a3+a5=209,数列bn=log3an2(n∈N*)(1)求数列{bn}的前n项和Sn及其最小值;(2)若Tn=b1+b2+b22+…+b2n-1,求Tn

题目详情

等比数列{an}为递增数列,且a4=
2
3
a3+a5=
20
9
,数列bn=log3
an
2
(n∈N*
(1)求数列{bn}的前n项和Sn及其最小值;
(2)若Tn=b1+b2+b22+…+b2n-1,求Tn的最小值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)设等比数列的首项a1,公比为q
则由已知可得,a3(1+q2)=class="stub"20
9
a3q=class="stub"2
3

两式相除可得,
1+q2
q
=class="stub"10
3

即3q2-10q+3=0
∴q=class="stub"1
3
或q=3
∵数列{an}为递增数列且a4=class="stub"2
3

∴q=3
an=a4qn-4=class="stub"2
3
×3n-4
=2•3n-5
bn=log3
an
2
=n-5
sn=class="stub"-4+n-5
2
•n
=
n(n-9)
2

由bn≤0可得n≤5
(Sn)min=s4=s5=class="stub"-4×5
2
=-10
(2)∵b2n-1=2n-1-5
∴Tn=b1+b2+b22+…+b2n-1=20+21+22+…+2n-1-5n
=
1-2n
1-2
-5n

=2n-5n-1
Tn-1=2n-1-5(n-1)-1
=Tn-Tn-1=2n-1-5>0
∴n≥4
即有T1>T2>T3<T4<T5<…
∴(Tn)min=T3=23-5×3-1=-8

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