已知数列{an}的首项a1=35,an+1=3an2an+1,其中n∈N+.(Ⅰ)求证:数列{1an-1}为等比数列;(Ⅱ)记Sn=1a1+1a2+…+1an,若Sn<100,求最大的正整数n.-数学

题目简介

已知数列{an}的首项a1=35,an+1=3an2an+1,其中n∈N+.(Ⅰ)求证:数列{1an-1}为等比数列;(Ⅱ)记Sn=1a1+1a2+…+1an,若Sn<100,求最大的正整数n.-数学

题目详情

已知数列{an}的首项a1=
3
5
an+1=
3an
2an+1
,其中n∈N+
(Ⅰ)求证:数列{
1
an
-1
}为等比数列;
(Ⅱ)记Sn=
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
,若Sn<100,求最大的正整数n.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(Ⅰ)证明:∵class="stub"1
an+1
=class="stub"2
3
+class="stub"1
3an
,∴class="stub"1
an+1
-1=class="stub"1
3an
-class="stub"1
3

class="stub"1
a1
-≠0
,∴class="stub"1
an
-1≠0(n
∈N+),
∴数列{class="stub"1
an
-1
}为等比数列.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可求得class="stub"1
an
-1=class="stub"2
3
×(class="stub"1
3
)
n-1
,∴class="stub"1
an
=2×(class="stub"1
3
)n+1

Sn=class="stub"1
a1
+class="stub"1
a2
+…+class="stub"1
an
=n+2×(class="stub"1
3
+class="stub"1
32
+…+class="stub"1
3n
)
=n+2•
class="stub"1
3
-class="stub"1
3n+1
1-class="stub"1
3
=n+1-class="stub"1
3n

若Sn<100,则n+1-class="stub"1
3n
<100

∴nmax=99.

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