已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=12(1-an)(n∈N*).(Ⅰ)求数列{an}的通项公式,并比较sn与12的大小;(Ⅱ)设函数f(x)=log13x,令bn=f(a1)+f(a2)+…+f

题目简介

已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=12(1-an)(n∈N*).(Ⅰ)求数列{an}的通项公式,并比较sn与12的大小;(Ⅱ)设函数f(x)=log13x,令bn=f(a1)+f(a2)+…+f

题目详情

已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=
1
2
(1-an)(n∈N*).
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式,并比较sn
1
2
的大小;
(Ⅱ)设函数f(x)=log
1
3
x
,令bn=f(a1)+f(a2)+…+f(an),求数列{
1
bn
}
的前n项和Tn
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(Ⅰ)当n≥2时,an=class="stub"1
2
(1-an)-class="stub"1
2
(1-an-1)=-class="stub"1
2
an+class="stub"1
2
an-1,
2an=-an+an-1,.∴
an
an-1
=class="stub"1
3
,由S1=a1=class="stub"1
2
(1-a1)得a1=class="stub"1
3

∴数列{an}是首项a1=class="stub"1
3
公比为class="stub"1
3
的等比数列
an=class="stub"1
3
×(class="stub"1
3
)n-1=(class="stub"1
3
)n.
由Sn=class="stub"1
2
(1-an)=class="stub"1
2
(1-(class="stub"1
3
)n)
∵1-(class="stub"1
3
)n<1
class="stub"1
2
(1-(class="stub"1
3
)n)<class="stub"1
2

∴sn<class="stub"1
2

(Ⅱ)f(x)=logclass="stub"1
3
x

∴bn=f(a1)+f(a2)+…+f(an)=logclass="stub"1
3
(a1a2…an)
=logclass="stub"1
3
class="stub"1
3
)1+2+…n=
n(n+1)
2

class="stub"1
bn
=class="stub"2
n(n+1)
=2(class="stub"1
n
-class="stub"1
n+1

∴Tn=2[(1-class="stub"1
2
)+(class="stub"1
2
-class="stub"1
3
)+…+(class="stub"1
n
-class="stub"1
n+1
)]=class="stub"2n
n+1

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