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> 已知各项均为正数的数列{an}满足a2n+1=2a2n+anan+1,且a2+a4=2a3+4,其中n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式;(2)令cn=1+nan,记数列{an}的前n项积为Tn,
已知各项均为正数的数列{an}满足a2n+1=2a2n+anan+1,且a2+a4=2a3+4,其中n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式;(2)令cn=1+nan,记数列{an}的前n项积为Tn,
题目简介
已知各项均为正数的数列{an}满足a2n+1=2a2n+anan+1,且a2+a4=2a3+4,其中n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式;(2)令cn=1+nan,记数列{an}的前n项积为Tn,
题目详情
已知各项均为正数的数列{a
n
} 满足
a
2n+1
=2
a
2n
+
a
n
a
n+1
,且a
2
+a
4
=2a
3
+4,其中n∈N
*
.
(1)求数列{a
n
} 的通项公式;
(2)令
c
n
=1+
n
a
n
,记数列{a
n
} 的前n项积为T
n
,其中n∈N
*
试比较T
n
与9的大小,并加以证明.
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
(1)因为an+12=2an2+anan+1,即(an+1+an)(2an-an+1)=0,
又an>0,所以有2an-an+1=0,所以2an=an+1,所以数列{an}是公比为2的等比数列.
由a2+a4=2a3+4得2a1+8a1=8a1+4,解得a1=2,故an=2n(n∈N*)
(2)构造函数f(x)=ln(1+x)-x(x≥0),则
f′(x)=-
class="stub"x
1+x
当x>0时,f′(x)<0,即f(x)在(0,+∞)上单调递减
∴f(x)<f(0)=0,∴ln(1+x)-x<0
∴lncn=ln(
1+
class="stub"n
a
n
)=
ln(1+
class="stub"n
2
n
)<
class="stub"n
2
n
∴lnTn<
class="stub"1
2
+
class="stub"2
2
2
…+
class="stub"n
2
n
记An=
class="stub"1
2
+
class="stub"2
2
2
…+
class="stub"n
2
n
①,则
class="stub"1
2
An=
class="stub"1
2
2
+
class="stub"2
2
3
…+
class="stub"n-1
2
n
+
class="stub"n
2
n+1
②
∴①-②可得
class="stub"1
2
An=
class="stub"1
2
+
class="stub"1
2
2
+
class="stub"1
2
3
…+
class="stub"1
2
n
-
class="stub"n
2
n+1
=1-
class="stub"n+2
2
n+1
<1
∴An<2
∴lnTn<2
∴Tn<e2<9.
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在数列{an}中,如果存在正整数T,
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(1)求数列{an} 的通项公式;
(2)令cn=1+
答案
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∴lnTn<
记An=
∴①-②可得
∴An<2
∴lnTn<2
∴Tn<e2<9.