已知各项均为正数的数列{an}满足a2n+1=2a2n+anan+1,且a2+a4=2a3+4,其中n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式;(2)令cn=1+nan,记数列{an}的前n项积为Tn,

题目简介

已知各项均为正数的数列{an}满足a2n+1=2a2n+anan+1,且a2+a4=2a3+4,其中n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式;(2)令cn=1+nan,记数列{an}的前n项积为Tn,

题目详情

已知各项均为正数的数列{an} 满足
a2n+1
=2
a2n
+anan+1
,且a2+a4=2a3+4,其中n∈N*
(1)求数列{an} 的通项公式;
(2)令cn=1+
n
an
,记数列{an} 的前n项积为Tn,其中n∈N* 试比较Tn 与9的大小,并加以证明.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)因为an+12=2an2+anan+1,即(an+1+an)(2an-an+1)=0,
又an>0,所以有2an-an+1=0,所以2an=an+1,所以数列{an}是公比为2的等比数列.
由a2+a4=2a3+4得2a1+8a1=8a1+4,解得a1=2,故an=2n(n∈N*)
(2)构造函数f(x)=ln(1+x)-x(x≥0),则f′(x)=-class="stub"x
1+x

当x>0时,f′(x)<0,即f(x)在(0,+∞)上单调递减
∴f(x)<f(0)=0,∴ln(1+x)-x<0
∴lncn=ln(1+class="stub"n
an
)=ln(1+class="stub"n
2n
)<class="stub"n
2n

∴lnTn<class="stub"1
2
+class="stub"2
22
…+class="stub"n
2n

记An=class="stub"1
2
+class="stub"2
22
…+class="stub"n
2n
①,则class="stub"1
2
An=class="stub"1
22
+class="stub"2
23
…+class="stub"n-1
2n
+class="stub"n
2n+1

∴①-②可得class="stub"1
2
An=class="stub"1
2
+class="stub"1
22
+class="stub"1
23
…+class="stub"1
2n
-class="stub"n
2n+1
=1-class="stub"n+2
2n+1
<1
∴An<2
∴lnTn<2
∴Tn<e2<9.

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