数列{an}中,a1=8,a4=2且满足an+2=2an+1-an,n∈N*(1)求数列{an}的通项公式;(2)设Sn=|a1|+|a2|+…+|an|,求Sn;(3)设bn=1n(12-an)(n

题目简介

数列{an}中,a1=8,a4=2且满足an+2=2an+1-an,n∈N*(1)求数列{an}的通项公式;(2)设Sn=|a1|+|a2|+…+|an|,求Sn;(3)设bn=1n(12-an)(n

题目详情

数列{an}中,a1=8,a4=2且满足an+2=2an+1-an,n∈N*
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设Sn=|a1|+|a2|+…+|an|,求Sn
(3)设bn=
1
n(12-an)
(n∈N*),Tn=b1+b2+…+bn(n∈N*)
,是否存在最大的整数m,使得对任意n∈N*,均有Tn
m
32
成立?若存在,求出m的值:若不存在,请说明理由.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)由题意,an+2-a
n
+1
=an+1-an
,∴{an}为等差数列,设公差为d,
由题意得2=8+3d⇒d=-2,∴an=8-2(n-1)=10-2n
(2)若10-2n≥0则n≤5,n≤5时,Sn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=class="stub"8+10-2n
2
×n=9n-n2

n≥6时,Sn=a1+a2+…+a5-a6-a7…-an=S5-(Sn-S5)=2S5-Sn=n2-9n+40
Sn=
9n-n2n≤5
n2-9n+40n≥6

(3)∵bn=class="stub"1
n(12-an)
=class="stub"1
2n(n+1)
=class="stub"1
2
(class="stub"1
n
-class="stub"1
n+1
)
Tn=class="stub"1
2
[(1-class="stub"1
2
)+(class="stub"1
2
-class="stub"1
3
)+(class="stub"1
3
-class="stub"1
4
)+…+(class="stub"1
n-1
-class="stub"1
n
)+(class="stub"1
n
-class="stub"1
n+1
)]=class="stub"n
2(n+1)

Tn>class="stub"m
32
对任意n∈N*成立,即class="stub"n
n+1
>class="stub"m
16
对任意n∈N*成立,∵class="stub"n
n+1
(n∈N*)
的最小值是class="stub"1
2
,∴class="stub"m
16
<class="stub"1
2
,∴m的最大整数值是7.
即存在最大整数m=7,使对任意n∈N*,均有Tn>class="stub"m
32

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