已知f(x)=sinπ3(x+1)-3cosπ3(x-1),f(1)+f(2)+f(3)+…f(2009)=______.-数学

题目简介

已知f(x)=sinπ3(x+1)-3cosπ3(x-1),f(1)+f(2)+f(3)+…f(2009)=______.-数学

题目详情

已知f(x)=sin
π
3
(x+1)-
3
cos
π
3
(x-1),f(1)+f(2)+f(3)+…f(2009)=______.
题型:填空题难度:偏易来源:不详

答案

f(x)=sinclass="stub"π
3
(x+1)-
3
cosclass="stub"π
3
(x-1)
sinclass="stub"πx
3
cosclass="stub"π
3
+cosclass="stub"πx
3
sinclass="stub"π
3
-
3
cosclass="stub"πx
3
cosclass="stub"π
3
-
3
sinclass="stub"πx
3
 sinclass="stub"π
3

=-sinclass="stub"πx
3

∴f(x)以6为周期的周期函数,
f(2)=f(1)=-
3
2

f(3)=0,
f(5)=f(4)=
3
2

f(6)=0
f(1)+f(2)+f(3)+…f(2009)
=334[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)]+[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)]
=0
故答案为:0

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