首页 > 已知正项数列{an}满足：a1=3，（2n-1）an+2=（2n+1）an-1+8n2（n＞1，n∈N*），设bn=1an，数列{bn}的前n项的和Sn，则Sn的取值范围为（）A．(0，12)B．[1

已知正项数列{an}满足：a1=3，（2n-1）an+2=（2n+1）an-1+8n2（n＞1，n∈N*），设bn=1an，数列{bn}的前n项的和Sn，则Sn的取值范围为（）A．(0，12)B．[1

题目简介

已知正项数列{an}满足：a1=3，（2n-1）an+2=（2n+1）an-1+8n2（n＞1，n∈N*），设bn=1an，数列{bn}的前n项的和Sn，则Sn的取值范围为（）A．(0，12)B．[1

题目详情

已知正项数列{an}满足：a1=3，（2n-1）an+2=（2n+1）an-1+8n2（n＞1，n∈N*），设bn=
1
an
，数列{bn}的前n项的和Sn，则Sn的取值范围为（　　）
A．(0，
1
2
)		B．[
1
3
，
1
2
)		C．(
1
3
，
1
2
)		D．[
1
3
，
1
2
]
题型：单选题难度：偏易来源：不详

答案

∵（2n-1）an+2=（2n+1）an-1+8n2（n＞1，n∈N*），
∴（2n-1）an-（2n+1）an-1=2（4n2-1），
又n＞1，等式两端同除以4n2-1得：
an
2n+1
-
an-1
2n-1
=2，即数列{
an
2n+1
}是以1为首项，2为公差的等差数列．
∴
an
2n+1
=1+(n-1)×2=2n-1，
∴class="stub"1
an
=class="stub"1
(2n-1)(2n+1)
=class="stub"1
2
(class="stub"1
2n-1
-class="stub"1
2n+1
)，
∴sn=class="stub"1
2
(1-class="stub"1
3
+class="stub"1
3
-class="stub"1
5
+…+class="stub"1
2n-1
-class="stub"1
2n+1
)=class="stub"n
2n+1
．当n=1时，s1=class="stub"1
3
；n→+∞时，sn→class="stub"1
2

∴class="stub"1
3
≤ sn＜class="stub"1
2
，
故答案为B．

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