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> 在数列{an}中,a1=-13,n∈N*,当n≥2时,有3an-2an-1+n+2=0,设bn=an+n+1.(I)求b1,b2;(II)证明数列{bn-1}是等比数列;(III)设cn=(23)n2
在数列{an}中,a1=-13,n∈N*,当n≥2时,有3an-2an-1+n+2=0,设bn=an+n+1.(I)求b1,b2;(II)证明数列{bn-1}是等比数列;(III)设cn=(23)n2
题目简介
在数列{an}中,a1=-13,n∈N*,当n≥2时,有3an-2an-1+n+2=0,设bn=an+n+1.(I)求b1,b2;(II)证明数列{bn-1}是等比数列;(III)设cn=(23)n2
题目详情
在数列{a
n
}中,
a
1
=-
1
3
,n∈
N
*
,当n≥2时,有3a
n
-2a
n-1
+n+2=0,设b
n
=a
n
+n+1.
(I)求b
1
,b
2
;
(II)证明数列{b
n
-1}是等比数列;
(III)设
c
n
=
(
2
3
)
n
2
b
2n
+
b
n
,求数列{c
n
}的前n项和T
n
.
题型:解答题
难度:中档
来源:成都一模
答案
(I)∵
a
1
=-
class="stub"1
3
,bn=an+n+1∴
b
1
=
a
1
+2=
class="stub"5
3
当n=2时,3a2-2a1+4=0可得
a
2
=-
class="stub"14
9
∴
b
2
=3+
a
2
=
class="stub"13
9
(II)由3an-2an-1+n+2=0得,3(an+n)=2(an-1+n-1)
a
n
+n
a
n-1
+n-1
=
class="stub"2
3
,n≥2即
b
n
-1
b
n-1
-1
=
class="stub"2
3
∵
b
1
- 1=
class="stub"2
3
≠0
∴
{
b
n
-1}是以
class="stub"2
3
为首项,
class="stub"2
3
为公比的等比数列
(III)由(I)可得
b
n
=
class="stub"2
3
b
n-1
+
class="stub"1
3
∴2bn-1+1=3bn,所以
b
n
=1+(
class="stub"2
3
)
n
c
n
=
(
class="stub"2
3
)
n
2
b
2n
+
b
n
=
(
class="stub"2
3
)
n
(2
b
n
+1)
b
n
=
b
n
-
b
n+1
b
n
b
n+1
=
class="stub"1
b
n+1
-
class="stub"1
b
n
T
n
=
C
1
+
C
2
+…+
C
n
=
class="stub"1
b
n+1
-
class="stub"1
b
1
=
3
n+1
2
n+1
+
3
n+1
-
class="stub"3
5
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在数列{an}中,a1=-13,n∈N*,当n≥2时,有3an-2an-1+n+2=0,设bn=an+n+1.(I)求b1,b2;(II)证明数列{bn-1}是等比数列;(III)设cn=(23)n2
题目详情
(I)求b1,b2;
(II)证明数列{bn-1}是等比数列;
(III)设cn=
答案
当n=2时,3a2-2a1+4=0可得a2=-
∴b2=3+a2=
(II)由3an-2an-1+n+2=0得,3(an+n)=2(an-1+n-1)
∵b1- 1=
∴{bn-1}是以
(III)由(I)可得bn=
∴2bn-1+1=3bn,所以bn=1+(
cn=
Tn=C1+C2+…+Cn=