在直角坐标平面上有一点列P1(x1,y1),P2(x2,y2),…,Pn(xn,yn),…,对一切正整数n,点Pn在函数y=3x+134的图象上,且Pn的横坐标构成以-52为首项,-1为公差的等差数列

题目简介

在直角坐标平面上有一点列P1(x1,y1),P2(x2,y2),…,Pn(xn,yn),…,对一切正整数n,点Pn在函数y=3x+134的图象上,且Pn的横坐标构成以-52为首项,-1为公差的等差数列

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在直角坐标平面上有一点列P1(x1,y1),P2(x2,y2),…,Pn(xn,yn),…,对一切正整数n,点Pn在函数y=3x+
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4
的图象上,且Pn的横坐标构成以-
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2
为首项,-1为公差的等差数列{xn}.
(1)求点Pn的坐标;
(2)设抛物线列C1,C2,C3,…,Cn,…中的每一条的对称轴都垂直于x轴,抛物线Cn的顶点为Pn,且过点Dn(0,n2+1).记与抛物线Cn相切于点Dn的直线的斜率为kn,求
1
k1k2
+
1
k2k3
+…+
1
kn-1kn

(3)设S={x|x=2xn,n∈N*},T={y|y=4yn,n∈N*},等差数列{an}的任一项an∈S∩T,其中a1是S∩T中的最大数,-265<a10<-125,求数列{an}的通项公式.
题型:解答题难度:中档来源:房山区一模

答案

(1)∵xn=-class="stub"5
2
+(n-1)×(-1)=-n-class="stub"3
2

yn=3xn+class="stub"13
4
=-3n-class="stub"5
4

Pn(-n-class="stub"3
2
,-3n-class="stub"5
4
)

(2)∵Cn的对称轴垂直于x轴,且顶点为Pn,
∴设Cn的方程为y=a(x+class="stub"2n+3
2
)2-class="stub"12n+5
4

把Dn(0,n2+1)代入上式,得a=1,
∴Cn的方程为y=x2+(2n+3)x+n2+1.
∵kn=y'|x=0=2n+3,
class="stub"1
kn-1kn
=class="stub"1
(2n+1)(2n+3)
=class="stub"1
2
[class="stub"1
(2n+1)
-class="stub"1
(2n+3)
]

class="stub"1
k1k2
+class="stub"1
k2k3
+class="stub"1
kn-1kn
=class="stub"1
2
[(class="stub"1
5
-class="stub"1
7
)+(class="stub"1
7
-class="stub"1
9
)++(class="stub"1
2n+1
-class="stub"1
2n+3
)]

=class="stub"1
2
(class="stub"1
5
-class="stub"1
2n+3
)=class="stub"1
10
-class="stub"1
4n+6

(3)T={y|y=-(12n+5),n∈N*}={y|y=-2(6n+1)-3,n∈N*},
∴S∩T=T,T中最大数a1=-17.
设{an}公差为d,则a10=-17+9d∈(-265,-125.)由此得-class="stub"248
9
<d<-12

又∵an∈T.
∴d=-12m(m∈N*)
∴d=-24,
∴an=7-24n(n∈N*,n≥2).

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