首页 > 已知数列{an}的前n项和为Sn满足Sn=n2n2-1Sn-1+nn+1，且a1=12，n∈N*（I）试求出S1，S2，S3的值；（Ⅱ）根据S1，S2，S3的值猜想出Sn关于n的表达式，并用数学归纳法

已知数列{an}的前n项和为Sn满足Sn=n2n2-1Sn-1+nn+1，且a1=12，n∈N*（I）试求出S1，S2，S3的值；（Ⅱ）根据S1，S2，S3的值猜想出Sn关于n的表达式，并用数学归纳法

题目简介

已知数列{an}的前n项和为Sn满足Sn=n2n2-1Sn-1+nn+1，且a1=12，n∈N*（I）试求出S1，S2，S3的值；（Ⅱ）根据S1，S2，S3的值猜想出Sn关于n的表达式，并用数学归纳法

题目详情

已知数列{an}的前n项和为Sn满足Sn=
n2
n2-1
Sn-1+
n
n+1
，且a1=
1
2
，n∈N*
（I）试求出S1，S2，S3的值；
（Ⅱ）根据S1，S2，S3的值猜想出Sn关于n的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

S1=a1=class="stub"1
2
，
S2=class="stub"4
3
S1+class="stub"2
3
=class="stub"4
3
，
S3=class="stub"9
8
S2+class="stub"3
4
=class="stub"9
4

（Ⅱ）由（I）猜想Sn=
n2
n+1

①当n=1时，左边=S1=a1=class="stub"1
2
，右边=
12
1+1
=class="stub"1
2
，等式成立．
②假设n=k时等式成立，即Sk=
k2
k+1

则当n=k+1时，左边=Sk+1=
(k+1)2
(k+1)2-1
Sk+class="stub"k+1
k+2
=
(k+1)2
(k+1)2-1
•
k2
k+1
+class="stub"k+1
k+2
=
(k+1)2
k+2

即当n=k+1时，等式成立．
由①②可知，当时对任意正整数n都成立．

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