数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=12an+1(n∈N*).(1)求a2,a3.(2)求数列{an}的通项an;(3)求数列{nan}的前n项和Tn.-数学

题目简介

数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=12an+1(n∈N*).(1)求a2,a3.(2)求数列{an}的通项an;(3)求数列{nan}的前n项和Tn.-数学

题目详情

数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=
1
2
an+1(n∈N*)

(1)求a2,a3
(2)求数列{an}的通项an
(3)求数列{nan}的前n项和Tn
题型:解答题难度:中档来源:清城区二模

答案

(1)令n=1,得到S1=a1=class="stub"1
2
a2,由a1=1,得到a2=2,
令n=2,得到S2=a1+a2=class="stub"1
2
a3,
则a3=2(1+2)=6;(3分)
(2)∵an+1=2Sn,∴Sn+1-Sn=2Sn,
Sn+1
Sn
=3

又∵S1=a1=1,
∴数列Sn是首项为1,公比为3的等比数列,Sn=3n-1(n∈N*).(5分)
当n≥2时,an=2Sn-1=2•3n-2(n≥2),
an=
1,n=1
2•3n-2,n≥2
;(8分)
(3)Tn=a1+2a2+3a3+…+nan,
当n=1时,T1=1;
当n≥2时,Tn=1+4•30+6•31+…+2n•3n-2①,
3Tn=3+4•31+6•32+…+2n•3n-1②,
①-②得:-2Tn=-2+4+2(31+32+…+3n-2)-2n•3n-1
=2+2•
3(1-3n-2)
1-3
-2n•3n-1

=-1+(1-2n)•3n-1.
Tn=class="stub"1
2
+(n-class="stub"1
2
)3n-1(n≥2)

又∵T1=a1=1也满足上式,
Tn=class="stub"1
2
+(n-class="stub"1
2
)3n-1(n∈N*)
.(14分)

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