在数列{an}中，a1=3，an=2an-1+n-2（n≥2，且n∈N*）（1）求a2，a3的值；（2）证明：数列{an+n}是等比数列，并求{an}的通项公式；（3）求数列{an}的前n项和Sn．-

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在数列{a_n}中，a₁=3，a_n=2a_n-1+n-2（n≥2，且n∈N^*）
（1）求a₂，a₃的值；
（2）证明：数列{a_n+n}是等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（3）求数列{a_n}的前n项和S_n．

题型：解答题难度：中档来源：石景山区一模

答案

（1）∵a1=3，an=2an-1+n-2（n≥2，且n∈N+）
∴a2=2a1+2-2=6（2分）
a3=2a2+3-2=13（4分）

（2）证明：∵

an+n

an-1+(n-1)

(2an-1+n-2)+n

an-1+n-1

2an-1+2n-2

an-1+n-1

=2
∴数列an+n是首项为a1+1=4，
公比为2的等比数列．（7分）
∴an+n=4⋅2n-1=2n+1，
即an=2n+1-n
∴an的通项公式为an=2n+1-n（n∈N+）（9分）

（3）∵an的通项公式为an=2n+1-n（n∈N+）
∴Sn=（22+23+24+…+2n+1）-（1+2+3+…+n）（11分）
=

22×(1-2n)

1-2

n×(n+1)

=2n+1-

n2+n+8

（13分）

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在数列{an}中，a1=3，an=2an-1+n-2（n≥2，且n∈N*）（1）求a2，a3的值；（2）证明：数列{an+n}是等比数列，并求{an}的通项公式；（3）求数列{an}的前n项和Sn．-

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