首页 > 数列{an}满足a1=1，an+1=2n+1anan+2n（n∈N+）．（Ⅰ）证明：数列{2nan}是等差数列；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式an；（Ⅲ）设bn=n（n+1）an，求数列{bn}的前n

数列{an}满足a1=1，an+1=2n+1anan+2n（n∈N+）．（Ⅰ）证明：数列{2nan}是等差数列；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式an；（Ⅲ）设bn=n（n+1）an，求数列{bn}的前n

题目简介

数列{an}满足a1=1，an+1=2n+1anan+2n（n∈N+）．（Ⅰ）证明：数列{2nan}是等差数列；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式an；（Ⅲ）设bn=n（n+1）an，求数列{bn}的前n

题目详情

数列{an}满足a1=1，an+1=
2n+1an
an+2n
（n∈N+）．
（Ⅰ）证明：数列{
2n
an
}是等差数列；
（Ⅱ）求数列{an}的通项公式an；
（Ⅲ）设bn=n（n+1）an，求数列{bn}的前n项和Sn．
题型：解答题难度：中档来源：安徽模拟

答案

（Ⅰ）证明：由已知可得
an+1
2n+1
=
an
an+2n
，
即
2n+1
an+1
=
2n
an
+1，
即
2n+1
an+1
-
2n
an
=1
∴数列{
2n
an
}是公差为1的等差数列（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
2n
an
=class="stub"2
a1
+(n-1)×1=n+1，
∴an=
2n
n+1
（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知bn=n•2n
Sn=1•2+2•22+3•23++n•2n
2Sn=1•22+2•23+…+（n-1）•2n+n•2n+1（10分）
相减得：-Sn=2+22+23++2n-n•2n+1=
2(1-2n)
1-2
-n•2n+1=2n+1-2-n•2n+1（12分）
∴Sn=（n-1）•2n+1+2

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