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已知数列{an}中，a1=1，且an=nn-1an-1+2n•3n-2（n≥2，n∈N*）．（I）求a2，a3的值及数列{an}的通项公式；（II）令bn=3n-1an(n∈N*)，数列{bn}的前n

题目简介

已知数列{an}中，a1=1，且an=nn-1an-1+2n•3n-2（n≥2，n∈N*）．（I）求a2，a3的值及数列{an}的通项公式；（II）令bn=3n-1an(n∈N*)，数列{bn}的前n

题目详情

已知数列{an}中，a1=1，且an=
n
n-1
an-1+2n•3n-2（n≥2，n∈N*）．
（I）求a2，a3的值及数列{an}的通项公式；
（II）令bn=
3n-1
an
(n∈N*)，数列{bn}的前n项和为Sn，试比较S2n与n的大小；
（III）令cn=
an+1
n+1
(n∈N*)，数列{
2cn
(cn-1)2
}的前n项和为Tn，求证：对任意n∈N*，都有Tn＜2．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（I）当n=2时，a2=class="stub"2
2-1
a2-1+2•2•32-2=2+4=6，
当n=3时，a3=class="stub"3
3-1
a3-1+2•3•33-2=9+18=27．
因为an=class="stub"n
n-1
an-1+2n•3n-2，所以
an
n
=
an-1
n-1
+2•3n-2．
当n≥2时，由累加法得
an
n
-
a1
1
=2+2×3+2×32+…+2×3n-2，
因为a1=1，所以n≥2时，有
an
n
=1+
2(1-3n-1)
1-3
=3n-1，即an=n•3n-1(n≥2)．
又n=1时，a1=1•31-1=1，
故an=n•3n-1(n∈N*)．
（II）n∈N*时，bn=
3n-1
an
=class="stub"1
n
，则S2n=1+class="stub"1
2
+class="stub"1
3
+…+class="stub"1
2n
．
记函数f(n)=S2n-n=(1+class="stub"1
2
+class="stub"1
3
+…+class="stub"1
2n
)-n，
所以f(n+1)=(1+class="stub"1
2
+class="stub"1
3
+…+class="stub"1
2n+1
)-(n+1)．
则f(n+1)-f(n)=(class="stub"1
2n+1
+class="stub"1
2n+2
+…+class="stub"1
2n+1
)-1＜
2n
2n+1
-1＜0．
所以f（n+1）＜f（n）．
由于f(1)=S21-1=(1+class="stub"1
2
)-1＞0，此时S21＞1；f(2)=S22-2=(1+class="stub"1
2
+class="stub"1
3
+class="stub"1
4
)-2＞0，
此时S22＞2；f(3)=S23-3=(1+class="stub"1
2
+class="stub"1
3
+class="stub"1
4
+class="stub"1
5
+class="stub"1
6
+class="stub"1
7
+class="stub"1
8
)-3＜0，此时S23＜3；
由于f（n+1）＜f（n），故n≥3时，f（n）≤f（3）＜0，此时S2n＜n．
综上所述，当n=1，2时，S2n＞n；当n≥3（n∈N*）时，S2n＜n．
（III）证明：对于cn=
an+1
n+1
=3n，有
2cn
(cn-1)2
=
2×3n
(3n-1)2
．
当n≥2时，
2×3n
(3n-1)2
≤
2×3n
(3n-1)(3n-3)
=
2×3n-1
(3n-1)(3n-1-1)
=class="stub"1
3n-1-1
-class="stub"1
3n-1
．
所以当n≥2时，Tn=class="stub"3
2
+
2×32
(32-1)2
+…+
2×3n
(3n-1)2
≤class="stub"3
2
+(class="stub"1
2
-class="stub"1
32-1
)+(class="stub"1
32-1
-class="stub"1
33-1
)+…+(class="stub"1
3n-1-1
-class="stub"1
3n-1
)=2-class="stub"1
3n-1
＜2．
且T1=class="stub"3
2
＜2．
故对n∈N*，Tn＜2得证．

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