首页 > 已知数列{an}满足an+1+an-1an+1-an+1=n(n∈N*)，且a2=6．（1）设bn=ann(n-1)(n≥2)，b1=3，求数列{bn}的通项公式；（2）设un=ann+c(n∈N*)

已知数列{an}满足an+1+an-1an+1-an+1=n(n∈N*)，且a2=6．（1）设bn=ann(n-1)(n≥2)，b1=3，求数列{bn}的通项公式；（2）设un=ann+c(n∈N*)

题目简介

已知数列{an}满足an+1+an-1an+1-an+1=n(n∈N*)，且a2=6．（1）设bn=ann(n-1)(n≥2)，b1=3，求数列{bn}的通项公式；（2）设un=ann+c(n∈N*)

题目详情

已知数列{an}满足
an+1+an-1
an+1-an+1
=n(n∈N*)，且a2=6．
（1）设bn=
an
n(n-1)
(n≥2)，b1=3，求数列{bn}的通项公式；
（2）设un=
an
n+c
(n∈N*)，c为非零常数，若数列{un}是等差数列，记cn=
un
2n
，Sn=c1+c2+…+cn，求Sn．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵
an+1+an-1
an+1-an+1
=n(n∈N*)，
∴（n-1）an+1=（n+1）an-（n+1）
当n≥2时，
an+1
(n+1)n
-
an
n(n-1)
=-class="stub"1
n(n-1)

而bn=
an
n(n-1)
(n≥2)
∴bn+1-bn=class="stub"1
n
-class="stub"1
n-1
（n≥2）
∵a2=6∴b2=
a2
2
=class="stub"6
2
=3
∵b3-b2=class="stub"1
2
-1
b4-b3=class="stub"1
3
-class="stub"1
2

…
bn-bn-1=class="stub"1
n-1
-class="stub"1
n-2
（n≥3）
将这些式子相加得bn-b2=class="stub"1
n-1
-1
∴bn=class="stub"1
n-1
+2（n≥3）
b2=3也满足上式，b1=3不满上式
∴bn=
3，n=1
2+class="stub"1
n-1
，n＞1

（2）
an+1+an-1
an+1-an+1
=n(n∈N*)，令n=1得a1=1
∵bn=
an
n(n-1)
(n≥2)
∴an=2n2-n（n≥2）
而a1=1也满足上式
∴an=2n2-n
∵un=
an
n+c
(n∈N*)，数列{un}是等差数列
∴un=
an
n+c
=
n(2n-1)
n+c
是关于n的一次函数，而c为非零常数
∴c=-class="stub"1
2
，un=2n
∴cn=
un
2n
=class="stub"2n
2n
，
Sn=c1+c2+…+cn=2×class="stub"1
2
+4×(class="stub"1
2
)2+…+2n×(class="stub"1
2
)n
class="stub"1
2
Sn=2×(class="stub"1
2
)2+4×(class="stub"1
2
)3+…+2n×(class="stub"1
2
)n+1
两式作差得class="stub"1
2
Sn=2×(class="stub"1
2
)2+2×(class="stub"1
2
)3+…+2×(class="stub"1
2
)n-2×(class="stub"1
2
)n+1
∴Sn=4-class="stub"n+2
2n-1

更多内容推荐

Copyright © 2018-2020 360优课网