已知正项数列{an}满足Sn+Sn-1=tan2+2(n≥2,t>0),a1=1,其中Sn是数{an}的前n项和.(1)求a2及通项an;(2)记数列{1anan+1}的前n项和为Tn,若Tn<2对所

题目简介

已知正项数列{an}满足Sn+Sn-1=tan2+2(n≥2,t>0),a1=1,其中Sn是数{an}的前n项和.(1)求a2及通项an;(2)记数列{1anan+1}的前n项和为Tn,若Tn<2对所

题目详情

已知正项数列{an} 满足Sn+Sn-1=tan2+2(n≥2,t>0),a1=1,其中Sn是数{an} 的前n项和.
(1)求a2及通项an
(2)记数列{
1
anan+1
}的前n项和为Tn,若Tn<2对所有的n∈N+都成立,求证:0<t≤1.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)a1=1,S2+S1=ta22+2得a2=0(舍去)或a2=class="stub"1
t

又Sn+Sn-1=tan2+2    (1)
Sn-1+Sn-2=tan-12+2(n≥3)(2)
(1)-(2)得an+an-1=t(an2-an-12)(n≥3),
因为数列{an}为正项数列,∴an-an-1=class="stub"1
t
(n≥3)

即数列{an}从第二项开始是公差为class="stub"1
t
的等差数列.∴an
1(n=1)
class="stub"n-1
t
(n≥2)
----7 分
(2)当n=时T1=t<2;
n≥2时,Tn=t+
t2
1×2
+
t2
2×3
+…+
t2
(n-1)n
=t+t2class="stub"n-1
n

要使Tn<2对所有n∈N*恒成立,只t+t2class="stub"n-1
n
≤2成立,
故0t≤1得证----(14分)

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