已知正实数a,b,c成等差数列,且a+b+c=15.(I)求b的值;(II)若a+1,b+1,c+4成等比数列;(i)求a,c的值;(ii)若a,b,c为等差数列{an}的前三项,求数列{an•xn-

题目简介

已知正实数a,b,c成等差数列,且a+b+c=15.(I)求b的值;(II)若a+1,b+1,c+4成等比数列;(i)求a,c的值;(ii)若a,b,c为等差数列{an}的前三项,求数列{an•xn-

题目详情

已知正实数a,b,c成等差数列,且a+b+c=15.
(I)求b的值;
(II)若a+1,b+1,c+4成等比数列;
(i)求a,c的值;
(ii)若a,b,c为等差数列{an}的前三项,求数列{anxn-1}(x≠0)的前n项和.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(I)由题意,得
a+b+c=15            (1)
a+c=2b                 (2)

由(1)(2)两式,解得b=5(4分)
(II)(i)因为a+1,b+1,c+4成等比数列,
所以(a+1)(c+4)=(b+1)2(3)
由(2)式,得c=10-a代入(3),整理得a2-13a+22=0
解得a=2或a=11
故a=2,c=8或a=11,c=-1(舍)
所以a=2,c=8(8分)
(ii)因为a,b,c为等差数列{an}的前三项,
所以an=3n-1(n∈N*)
当x=1时,数列{anxn-1}的前n项Sn=2+5+8+…+3n-1=
n(3n+1)
2

当x≠1时,数列{anxn-1}的前n项Sn=2+5x+8x2+…+(3n-1)xn-1xSn=2x+5x2+8x3+…+(3n-4)xn-1+(3n-1)xn
①-②:(1-x)Sn=2+3x+3x2+3x3+…+3xn-1-(3n-1)xn=2+3
x(1-xn-1)
1-x
-(3n-1)xn

所以Sn=
2+x-(3n+2)xn+(3n-1)xn+1
(1-x)2
(12分)

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