已知数列{an}的前n项和Sn=2n,数列{bn}满足b1=-1,bn+1=bn+(2n-1)(n=1,2,3,…).(1)求数列{an}的通项an;(2)求数列{bn}的通项bn;(3)若cn=an

题目简介

已知数列{an}的前n项和Sn=2n,数列{bn}满足b1=-1,bn+1=bn+(2n-1)(n=1,2,3,…).(1)求数列{an}的通项an;(2)求数列{bn}的通项bn;(3)若cn=an

题目详情

已知数列{an}的前n项和Sn=2n,数列{bn}满足b1=-1,bn+1=bn+(2n-1)(n=1,2,3,…).
(1)求数列{an}的通项an
(2)求数列{bn}的通项bn
(3)若cn=
anbn
n
,求数列{cn}的前n项和Tn
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)∵Sn=2n,∴Sn-1=2n-1,(n≥2).
∴an=Sn-Sn-1=2n-2n-1=2n-1(n≥2).(2分)
当n=1时,21-1=1≠S1=a1=2,
an=
2  (n=1)
2n-1 (n≥2).
(4分)

(2)∵bn+1=bn+(2n-1),
∴b2-b1=1,b3-b2=3,b4-b3=5,…,bn-bn-1=2n-3,
以上各式相加得bn-b1=1+3+5+…+(2n-3)=
(n-1)(1+2n-3)
2
=(n-1)2

∵b1=-1,∴bn=n2-2n.(8分)

(3)由题意得cn=
-2  (n=1)
(n-2)×2n-1 (n≥2).

∴Tn=-2+0×21+1×22+2×23+…+(n-2)×2n-1,
∴2Tn=-4+0×22+1×23+2×24+…+(n-2)×2n,
∴-Tn=2+22+23+…+2n-1-(n-2)×2n=
2(1-2n-1)
1-2
-(n-2)×2n

=2n-2-(n-2)×2n=-2-(n-3)×2n,
∴Tn=2+(n-3)×2n.(12分).

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