数列{an}的前n项和Sn=n(2n-1)an,并且a1=13,(1)求数列{an}的通项公式.(2)判断前n项和Sn组成的新数列{Sn}的单调性,并给出相应的证明.-数学

题目简介

数列{an}的前n项和Sn=n(2n-1)an,并且a1=13,(1)求数列{an}的通项公式.(2)判断前n项和Sn组成的新数列{Sn}的单调性,并给出相应的证明.-数学

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数列{an}的前n项和Sn=n(2n-1)an,并且a1=
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(1)求数列{an}的通项公式.
(2)判断前n项和Sn组成的新数列{Sn}的单调性,并给出相应的证明.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n(2n-1)an-(n-1)(2n-3)an-1,得
an
an-1
=class="stub"2n-3
2n+1
a2
a1
a3
a2
a4
a3
a5
a4
an-1
an-2
an
an-1
=class="stub"1
5
×class="stub"3
7
×class="stub"5
9
×class="stub"7
11
…class="stub"2n-5
2n-1
×class="stub"2n-3
2n+1

a1=class="stub"1
3
an=class="stub"1
(2n-1)(2n+1)

(2)因为Sn=n(2n-1)an=class="stub"n
2n+1
Sn+1-Sn=class="stub"n+1
2n+3
-class="stub"n
2n+1
=class="stub"1
(2n+1)(2n+3)
>0
对于任意的正整数都成立,所以Sn+1>Sn,即前n项和Sn组成的新数列{Sn}为递增数列.

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