正项数列{an}的前n项和为Sn,且4Sn=(a+1)2,n∈N*.(1)试求数列{an}的通项公式;(2)设bn=1an•an+1(n∈N*),求数列{bn}的前n项和Tn.-数学

题目简介

正项数列{an}的前n项和为Sn,且4Sn=(a+1)2,n∈N*.(1)试求数列{an}的通项公式;(2)设bn=1an•an+1(n∈N*),求数列{bn}的前n项和Tn.-数学

题目详情

正项数列{an}的前n项和为Sn,且4Sn=(a+1)2,n∈N*
(1)试求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=
1
anan+1
(n∈N*),求数列{bn}的前n项和Tn
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)∵4Sn=(a+1)2,n∈N*,∴Sn=
an2+2an+1
4
…①
当n=1时,a1=
a12+2a1+1
4
,∴a1=1.
当n≥2时,Sn-1=
an-12+2an-1+1
4
…②
①、②式相减得:
4an=(an+an-1)(an-an-1)+2(an-an-1),
∴2(an+an-1)=(an+an-1)(an-an-1),
∴an-an-1=2,
综上得an=2n-1.(6分)
(2)bn=class="stub"1
anan+1
=class="stub"1
(2n-1)(2n+1)

=class="stub"1
2
(class="stub"1
2n-1
-class="stub"1
2n+1
)

∴Tn=class="stub"1
2
(1-class="stub"1
3
+class="stub"1
3
-class="stub"1
5
+…+class="stub"1
2n-1
-class="stub"1
2n+1
)

=class="stub"n
2n+1
.(12分)

更多内容推荐