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> 已知数列an满足a1=14,an=an-1(-1)nan-1-2(n≥2,n∈N)(1)求数列an的通项公式an;(2)设bn=1a2n,求数列bn的前n项和Sn;(3)设cn=ansin(2n-1)
已知数列an满足a1=14,an=an-1(-1)nan-1-2(n≥2,n∈N)(1)求数列an的通项公式an;(2)设bn=1a2n,求数列bn的前n项和Sn;(3)设cn=ansin(2n-1)
题目简介
已知数列an满足a1=14,an=an-1(-1)nan-1-2(n≥2,n∈N)(1)求数列an的通项公式an;(2)设bn=1a2n,求数列bn的前n项和Sn;(3)设cn=ansin(2n-1)
题目详情
已知数列a
n
满足
a
1
=
1
4
,
a
n
=
a
n-1
(-1)
n
a
n-1
-2
(n≥2,n∈N)
(1)求数列a
n
的通项公式a
n
;
(2)设
b
n
=
1
a
2n
,求数列b
n
的前n项和S
n
;
(3)设
c
n
=
a
n
sin
(2n-1)π
2
,数列c
n
的前n项和为T
n
.求证:对任意的
n∈
N
*
,
T
n
<
4
7
.
题型:解答题
难度:中档
来源:深圳二模
答案
(1)∵
class="stub"1
a
n
=(-1
)
n
-
class="stub"2
a
n-1
,∴
class="stub"1
a
n
+(-1
)
n
=(-2)[
class="stub"1
a
n-1
+
(-1)
n-1
]
,
又∵
class="stub"1
a
1
+(-1)=3
,所以数列
{
class="stub"1
a
n
+
(-1)
n
}
(n∈N*)是以3为首项,-2为公比的等比数列,
∴
a
n
=
(-1)
n-1
3×
2
n-1
+1
.
(2)bn=(3×2n-1+1)2
=9•4n-1+6•2n-1+1,
∴
S
n
=9•
1•(1-
4
n
)
1-4
+6•
1•(1-
2
n
)
1-2
+n
=3•4n+6•2n+n-9.
(3)证明:由(1)知
a
n
=
(-1)
n-1
3•
2
n-1
+1
,sin
(2n-1)
2
=(-1
)
n-1
,∴
c
n
=
class="stub"1
3•
2
n-1
+1
,当n≥3时,则
T
n
=
class="stub"1
3+1
+
class="stub"1
3•2+1
+
class="stub"1
3•
2
2
+1
++
class="stub"1
3•
2
n-1
+1
<
class="stub"1
4
+
class="stub"1
7
+
class="stub"1
3•
2
2
+
class="stub"1
3•
2
3
++
class="stub"1
3•
2
n-1
=
class="stub"11
28
+
class="stub"1
12
[1-
(
class="stub"1
2
)
n-2
]
1-
class="stub"1
2
=
class="stub"11
28
+
class="stub"1
6
[1-
(
class="stub"1
2
)
n-2
]<
class="stub"11
28
+
class="stub"1
6
=
class="stub"47
84
<
class="stub"48
84
=
class="stub"4
7
又∵T1<T2<T3,
∴对任意的n∈N*,Tn
<
class="stub"4
7
.(12分)
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已知数列{xn}满足x2=x12,xn=12(x
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题目简介
已知数列an满足a1=14,an=an-1(-1)nan-1-2(n≥2,n∈N)(1)求数列an的通项公式an;(2)设bn=1a2n,求数列bn的前n项和Sn;(3)设cn=ansin(2n-1)
题目详情
(1)求数列an的通项公式an;
(2)设bn=
(3)设cn=ansin
答案
又∵
∴an=
(2)bn=(3×2n-1+1)2
=9•4n-1+6•2n-1+1,
∴Sn=9•
=3•4n+6•2n+n-9.
(3)证明:由(1)知an=
=
又∵T1<T2<T3,
∴对任意的n∈N*,Tn<