在数列{an}与{bn}中,数列{an}的前n项和Sn满足Sn=n2+2n,数列{bn}的前n项和Tn满足3Tn=nbn+1,且b1=1,n∈N*.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)求数列{bn}

题目简介

在数列{an}与{bn}中,数列{an}的前n项和Sn满足Sn=n2+2n,数列{bn}的前n项和Tn满足3Tn=nbn+1,且b1=1,n∈N*.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)求数列{bn}

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在数列 {an} 与 {bn} 中,数列 {an} 的前n项和Sn满足 Sn=n2+2n,数列 {bn} 的前n项和Tn满足 3Tn=nbn+1,且b1=1,n∈N*
(Ⅰ)求数列 {an} 的通项公式;
(Ⅱ)求数列 {bn} 的通项公式;
(Ⅲ)设 cn=
bn(an-1)
n+1
cos
2nπ
3
,求数列 {cn} 的前n项和Rn
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(Ⅰ)∵Sn=n2+2n,…①
∴Sn-1=(n-1)2+2(n-1),n≥2. …②
①-②得 an=2n+1,n≥2.   …2分
∵a1=S1=3 满足上式,
∴an=2n+1,n∈N*.   …4分
(Ⅱ)∵3Tn=nbn+1,…③
∴3Tn-1=(n-1)bn,n≥2. …④
③-④得 3bn=nbn+1-(n-1)bn,即 
bn+1
bn
=class="stub"n+2
n
,n≥2.  …5分
b3
b2
=class="stub"4
2
b4
b3
=class="stub"5
3
b5
b4
=class="stub"6
4
,…,
bn
bn-1
=class="stub"n+1
n-1

将以上各式连乘得
bn
b2
=
n(n+1)
6
,n≥2.  …7分
∵b1=1,∴b2=3.
bn=
n(n+1)
2
,n≥2. …8分
∵b1=1满足上式,
bn=
n(n+1)
2
,n∈N*. …9分
(Ⅲ)由(Ⅰ)(Ⅱ)得 cn=n2cosclass="stub"2nπ
3
,…10分
(1)当 n=3k (k∈N*)时,
Rn=(c1+c2+c3)+(c4+c5+c6)+…+(c3k-2+c3k-1+c3k)
=(-
12
2
-
22
2
+32)+(-
42
2
-
52
2
+62)+…+[-
(3k-2)2
2
-
(3k-1)2
2
+(3k)2]
=class="stub"13
2
+class="stub"31
2
+…+class="stub"18k-5
2
=
9k2+4k
2
=
3n2+4n
6

(2)当 n=3k-1(k∈N*)时,
Rn=
9k2+4k
2
-c3k=
-9k2+4k
2
=
-3n2-2n+1
6

(3)当 n=3k-2(k∈N*)时,
Rn=
-9k2+4k
2
-c3k-1=class="stub"-2k+1
2
=class="stub"-2n-1
6

综上,Rn=
3n2+4n
6
,n=3k
-3n2-2n+1
6
,n=3k-1
class="stub"-2n-1
6
,n=3k-2
(k∈N*) …14分.

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