数列{an}的通项公式为an=1(n+1)2(n∈N*),设f(n)=(1-a1)(1-a2)(1-a3)…(1-an).(1)求f(1)、f(2)、f(3)、f(4)的值;(2)求f(n)的表达式;

题目简介

数列{an}的通项公式为an=1(n+1)2(n∈N*),设f(n)=(1-a1)(1-a2)(1-a3)…(1-an).(1)求f(1)、f(2)、f(3)、f(4)的值;(2)求f(n)的表达式;

题目详情

数列{an}的通项公式为an=
1
(n+1)2
(n∈N*),设f(n)=(1-a1)(1-a2)(1-a3)…(1-an).
(1)求f(1)、f(2)、f(3)、f(4)的值;
(2)求f(n)的表达式;
(3)数列{bn}满足b1=1,bn+1=2f(n)-1,它的前n项和为g(n),求证:当n∈N*时,g(2n)-
n
2
≥1.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)f(1)=class="stub"3
4
,f(2)=class="stub"2
3
,f(3)=class="stub"5
8
,f(4)=class="stub"3
5

(2)由f(n)=(1-a1)(1-a2)…(1-an)
得:f(n-1)=(1-a1)(1-a2)…(1-an-1)(n>1),
两式相除得:
f(n)
f(n-1)
=1-an=1-class="stub"1
(n+1)2
=
n(n+2)
(n+1)2
(n>1).
f(n)
f(n-1)
f(n-1)
f(n-2)
f(2)
f(1)
=
n(n+2)
(n+1)2
(n-1)(n+1)
n2
n(n-2)
(n-1)2
class="stub"2×4
32

f(n)
f(1)
=
n(n-1)(n-2)…2
(n+1)n…3
(n+2)(n+1)…4
(n+1)n…3
=class="stub"2
n+1
•class="stub"n+2
3

∴f(n)=class="stub"n+2
2(n+1)
(n>1),又f(1)=class="stub"3
4
适合此式,
∴f(n)=class="stub"n+2
2(n+1)

(3)b n+1=2f(n)-1=class="stub"1
n+1

g(n)=1+class="stub"1
2
+class="stub"1
3
+…+class="stub"1
n

∴g(2n)=1+class="stub"1
2
+class="stub"1
3
+…+class="stub"1
2n

设∅(n)=f(2n)-class="stub"n
2

则∅(n)=1+class="stub"1
2
+class="stub"1
3
+…+class="stub"1
2n
-class="stub"n
2

∅(n+1)-∅(n)=1+class="stub"1
2
+class="stub"1
3
+…+class="stub"1
2n+1
-class="stub"n+1
2
-(1+class="stub"1
2
+class="stub"1
3
+…+class="stub"1
2n
-class="stub"n
2

=class="stub"1
2n+1
+class="stub"1
2n+2
+…+class="stub"1
2n+1
-class="stub"1
2

class="stub"1
2n+1
+class="stub"1
2n+2
+…+class="stub"1
2n+1
的项数为2n,
class="stub"1
2n+1
+class="stub"1
2n+2
+…+class="stub"1
2n+1
class="stub"1
2n+1
+class="stub"1
2n+1
+…+class="stub"1
2n+1
=class="stub"1
2n+1
×2n
=class="stub"1
2

∴∅(n+1)-∅(n)>0.即数列{∅(n)}是单调递增数列.
其最小值为∅(1)=g(2)-class="stub"1
2
=1
∴∅(n)≥1即g(2n)-class="stub"n
2
≥1.

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