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数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意n∈N*，总有2Sn=a2n+an．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设正数数列{cn}满足an+1=(cn)n+1，(n∈N*)，求数列{c

题目简介

数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意n∈N*，总有2Sn=a2n+an．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设正数数列{cn}满足an+1=(cn)n+1，(n∈N*)，求数列{c

题目详情

数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意n∈N*，总有2Sn=
a2n
+an．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ） 设正数数列{cn}满足an+1=(cn)n+1，(n∈N*)，求数列{cn}中的最大项；
（Ⅲ） 求证：Tn=
1
a41
+
1
a42
+
1
a43
+…+
1
a4n
＜
11
10
．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）由已知：对于n∈N*，总有2Sn=an+an2①成立
∴2Sn-1=an-1+
a2n-1
(n≥2)②
①-②得2an=an+an2-an-1-an-12
∴an+an-1=（an+an-1）（an-an-1）∵an，an-1均为正数，∴an-an-1=1（n≥2），
∴数列{an}是公差为1的等差数列，又n=1时，2S1=a1+a12，解得a1=1．
∴an=n．
（Ⅱ）解法一：由已知cn＞0，a2=c12=2⇒c1=
2
，
a3=
c32
=3⇒c2=
33
，同理，c4=
2
，c5=
55
．
易得　c1＜c2，c2＞c3＞c4＞…猜想n≥2时，{cn}是递减数列．
令f(x)=class="stub"lnx
x
，则f′(x)=
class="stub"1
x
•x-lnx
x2
=class="stub"1-lnx
x2

∵当x≥3时，lnx＞1，则1-lnx＜0，即f'（x）＜0．
∴在[3，+∞）内f（x）为单调递减函数．
由an+1=cnn+1知lncn=
ln(n+1)
n+1
．
∴n≥2时，{lncn}是递减数列．即{cn}是递减数列．
又c1＜c2，∴数列{cn}中的最大项为c2=
33
．
解法二：猜测数列{cn}中的最大项为c2=
33
．c1＜c2＞c3易直接验证；
以下用数学归纳法证明n≥3时，nn+1＞（n+1）n
（1）当n=3时，nn+1=81＞64=（n+1）n，所以n=3时不等式成立；
（2）假设n=k（k≥3）时不等式成立，即kk+1＞（k+1）k，即(class="stub"k+1
k
)k＜k，
当n=k+1时，(class="stub"k+2
k+1
)k+1=(class="stub"k+2
k+1
)(class="stub"k+2
k+1
)k＜(class="stub"k+2
k+1
)(class="stub"k+1
k
)k＜(class="stub"k+2
k+1
)k＜k+1，
所以（k+1）k+2＞（k+2）k+1，即n=k+1时不等式成立．
由（1）（2）知nn+1＞（n+1）n对一切不小于3的正整数都成立．
（3）解法一：当n≥4时，由基本不等式的性质可得n3+16≥2
16n3
=8n
n
≥16n，
当n=2
32
时，取前一个等号，显然取不到，因此：n3+16＞16n，∴n4＞16n（n-1）．
Tn＜1+class="stub"1
16
+class="stub"1
81
+class="stub"1
16
[class="stub"1
3•4
+class="stub"1
4•5
+…+class="stub"1
n(n-1)
]
=1+class="stub"1
16
+class="stub"1
81
+class="stub"1
16
(class="stub"1
3
-class="stub"1
n
)＜class="stub"11
10

解法二：n≥2时，class="stub"1
n4
＜class="stub"1
n2(n-1)2
=class="stub"1
2n-1
[class="stub"1
(n-1)2
-class="stub"1
n2
]，
Tn＜1+class="stub"1
16
+class="stub"1
81
+class="stub"1
7
(class="stub"1
32
-class="stub"1
42
)+class="stub"1
9
(class="stub"1
42
-class="stub"1
52
)+…+class="stub"1
2n-1
[class="stub"1
(n-1)2
-class="stub"1
n2
]
＜1+class="stub"1
16
+class="stub"1
81
+class="stub"1
7
[(class="stub"1
32
-class="stub"1
42
)+(class="stub"1
42
-class="stub"1
52
)+…class="stub"1
(n-1)2
-class="stub"1
n2
]
＜1+class="stub"1
16
+class="stub"1
81
+class="stub"1
63
＜class="stub"11
10

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