已知数列{an}满足:a1=1,an+1=2an+2.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设bn=n3(an+2),求数列{bn}的前n项和Sn.-数学

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已知数列{an}满足:a1=1,an+1=2an+2.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设bn=n3(an+2),求数列{bn}的前n项和Sn.-数学

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已知数列{an}满足:a1=1,an+1=2an+2.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn=
n
3
(an+2),求数列{bn}的前n项和Sn
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(Ⅰ)∵an+1=2an+2,∴an+1+2=2(an+2)
由此可得数列{an+2}构成以a1+2=3为首项,公比q=2的等比数列
得an+2=3•2n-1,所以an=3•2n-1-2,即为数列{an}的通项公式;
(II)∵bn=class="stub"n
3
(an+2),
∴bn=class="stub"n
3
•(3•2n-1),得bn=n•2n-1
因此,Sn=1×20+2×21+3×22+…+n•2n-1,--------①
两边都乘以2,得
2Sn=1×21+2×22+3×23+…+n•2n,--------②
①-②,得
-Sn=1+21+22+…+2n-1-n•2n=(1-n)2n-1
∴Sn=(n-1)2n+1.

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