已知数列{an},{bn}中,对任何正整数n都有:a1b1+a2b2+a3b3+…+an-1bn-1+anbn=(n-1)•2n+1.(1)若数列{bn}是首项为1和公比为2的等比数列,求数列{an}

题目简介

已知数列{an},{bn}中,对任何正整数n都有:a1b1+a2b2+a3b3+…+an-1bn-1+anbn=(n-1)•2n+1.(1)若数列{bn}是首项为1和公比为2的等比数列,求数列{an}

题目详情

已知数列{an},{bn}中,对任何正整数n都有:a1b1+a2b2+a3b3+…+an-1bn-1+anbn=(n-1)•2n+1.
(1)若数列{bn}是首项为1和公比为2的等比数列,求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{an}是等差数列,数列{bn}是否为等比数列?若是,请求出通项公式,若不是,请说明理由;   
(3)求证:
n


i=1
1
aibi
3
2
题型:解答题难度:中档来源:佛山二模

答案

(1)因为a1b1+a2b2+a3b3+…+an-1bn-1+anbn=(n-1)•2n+1.
所以a1b1+a2b2+a3b3+…+an-1bn-1=(n-2)•2n-1+1.
两式相减 anbn=(2n-2-n+2)•2(n-1)=n•2(n-1)
因为{bn} 数列是首项为1,公比为2的等比数列则bn=2(n-1)
所以an=n (2){an}是等差数列 anbn=(2n-2-n+2)•2(n-1)=n•2(n-1)
所以 an=
n•2n-1
bn

an-1=
(n-1)•2n-2
bn-1

an-2=
(n-2)•2n-3
bn-2

{an}是等差数列 2a(n-1)=a(n-2)+an 即)2
(n-1)•2n-2
bn-1
(n-2)•2n-3
bn-2
+
n•2n-1
bn

4(n-1)
bn-1
=
(n-2)
bn-2
+class="stub"4n
bn

若{bn}是等比数列,
则b(n-1) 2=b(n-2)•bn 两式显然不合
所以数列{bn}不是等比数列
(3)aibi=i•2(i-1) 所以class="stub"1
aibi
=class="stub"1
i•2i-1

所以
n


i=1
class="stub"1
aibi
=class="stub"1
20
+class="stub"1
2×2
+class="stub"1
23
+…+class="stub"1
n•2n-1


<1+class="stub"1
4
+class="stub"1
23
+…+class="stub"1
2n-1

=1+
class="stub"1
4
-class="stub"1
2n
1-class="stub"1
2

=class="stub"3
2
-class="stub"1
2n-1
<class="stub"3
2
得证.

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