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> 已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d>0,且第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{bn}的第二项、第三项、第四项.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;(2)设数列{cn}对任意正整数-数
已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d>0,且第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{bn}的第二项、第三项、第四项.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;(2)设数列{cn}对任意正整数-数
题目简介
已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d>0,且第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{bn}的第二项、第三项、第四项.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;(2)设数列{cn}对任意正整数-数
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已知等差数列{a
n
}的首项a
1
=1,公差d>0,且第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{b
n
}的第二项、第三项、第四项.
(1)求数列{a
n
}与{b
n
}的通项公式;
(2)设数列{c
n
}对任意正整数n均有
c
1
b
1
+
c
2
b
2
+
c
3
b
3
+…+
c
n
b
n
=(n+1)
a
n+1
成立,求数列{c
n
}的前n项和S
n
.
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
(1)由题意得(a1+d)(a1+13d)=(a1+4d)2(d>0)
∵a1=1,
∴d=2,
∴an=2n-1,
∵b2=a2=1+2=3,
b3=a5=1+8=9,
∴
b
1
q=3
b
1
q
2
=9
,
∴b1=1,q=3,
∴bn=3n-1(5分)
(2)当n=1时,c1=2a2×b1=18;
当n≥2时,
c
n
b
n
=(n+1)
a
n+1
-n
a
n
=4n+1,
∴cn=(4n+1)•3n-1,故
c
n
=
18,n=1
(4n+1)•
3
n-1
,n≥2
,
∴Sn=c1+c2.+…+cn=18+9×3+13×32+17×33+…+(4n-3)×3n-2+(4n+1)×3n-1,①
3Sn=54+9×32+13×33+17×34…+(4n-3)×3n-1+(4n+1)×3n,②
①-②,得-2Sn=-9+4(32+33+34+…+3n-1)-(4n+1)×3n
=
-9+4×
9(1-
3
n-2
)
1-3
-(4n+1)×3n
=-9+2×3n-18-(4n+1)×3n
=-27+(1-4n)×3n,
∴
S
n
=
class="stub"4n-1
2
×
3
n
+
class="stub"27
2
.
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.在等比数列{an}中,an>0(n∈N*),公
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答案
∵a1=1,
∴d=2,
∴an=2n-1,
∵b2=a2=1+2=3,
b3=a5=1+8=9,
∴
∴b1=1,q=3,
∴bn=3n-1(5分)
(2)当n=1时,c1=2a2×b1=18;
当n≥2时,
∴cn=(4n+1)•3n-1,故cn=
∴Sn=c1+c2.+…+cn=18+9×3+13×32+17×33+…+(4n-3)×3n-2+(4n+1)×3n-1,①
3Sn=54+9×32+13×33+17×34…+(4n-3)×3n-1+(4n+1)×3n,②
①-②,得-2Sn=-9+4(32+33+34+…+3n-1)-(4n+1)×3n
=-9+4×
=-9+2×3n-18-(4n+1)×3n
=-27+(1-4n)×3n,
∴Sn=