定义:称np1+p2+…+pn为n个正数p1,p2,…pn的“均倒数”.若已知数列{an}的前n项的“均倒数”为12n+1.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设dn=2n•an,试求数列{dn}的

题目简介

定义:称np1+p2+…+pn为n个正数p1,p2,…pn的“均倒数”.若已知数列{an}的前n项的“均倒数”为12n+1.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设dn=2n•an,试求数列{dn}的

题目详情

定义:称
n
p1+p2+…+pn
为n个正数p1,p2,…pn的“均倒数”.若已知数列{an}的前n项的“均倒数”为
1
2n+1

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设dn=2nan,试求数列{dn}的前n项和Tn
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(Ⅰ)由已知定义,得class="stub"n
a1+a2+…+an
=class="stub"1
2n+1

∴a1+a2+…+an=n(2n+1)=Sn,即Sn=2n2+n
当n=1时,a1=S1=3.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n2+n)-[2(n-1)2+(n-1)]=4n-1.
当n=1时也成立,∴an=4n-1;
(Ⅱ)由an=4n-1,所以dn=2nan=(4n-1)•2n.
则数列{dn}的前n项和Tn=d1+d2+d3+…+dn.
Tn=3×2+7×22+11×23+…+(4n-1)×2n(1)
2Tn=3×22+7×23+11×24+…+(4n-1)×2n+1(2)
(1)-(2)得:-Tn=6+4×(22+23+…+2n)-(4n-1)•2n+1
=6+4×
4(1-2n-1)
1-2
-(4n-1)•2n+1
=-10+(5-4n)•2n+1.
所以 Tn=(4n-5)•2n+1+10

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