已知数列{an}的通项公式为an=n+12,n=2k-1(k∈N*)2n2,n=2k(k∈N*),设bn=a2n-1a2n,Sn=b1+b2+…+bn.(1)求Sn;(2)证明:当n≥6时,|Sn-2

题目简介

已知数列{an}的通项公式为an=n+12,n=2k-1(k∈N*)2n2,n=2k(k∈N*),设bn=a2n-1a2n,Sn=b1+b2+…+bn.(1)求Sn;(2)证明:当n≥6时,|Sn-2

题目详情

已知数列{an}的通项公式为an=
n+1
2
,n=2k-1(k∈N*)
2
n
2
,n=2k(k∈N*)
,设bn=
a2n-1
a2n
,Sn=b1+b2+…+bn
(1)求Sn
(2)证明:当n≥6时,|Sn-2|<
1
n
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)由已知得,a2n-1=class="stub"2n-1+1
2
=n
a2n=2class="stub"2n
2
=2n
,故bn=
a2n-1
a2n
=class="stub"n
2n
,…(2分)
Sn=b1+b2+…+bn=1×class="stub"1
2
+2×(class="stub"1
2
)
2
+3×(class="stub"1
2
)
3
+…+n•(class="stub"1
2
)
n
…(3分)
class="stub"1
2
Sn=1×(class="stub"1
2
)
2
+2×(class="stub"1
2
)
3
+3×(class="stub"1
2
)
4
+…+n•(class="stub"1
2
)
n+1
…(4分)
两式相减得,class="stub"1
2
Sn=class="stub"1
2
+(class="stub"1
2
)
2
+(class="stub"1
2
)
3
+(class="stub"1
2
)
4
+…+(class="stub"1
2
)
n
-n•(class="stub"1
2
)
n+1
=1-(class="stub"1
2
)
n
-n(class="stub"1
2
)
n+1
…(5分)
化简得Sn=2-(n+2)(class="stub"1
2
)
n
.…(7分)
(2)由(1)|Sn-2|=(n+2)(class="stub"1
2
)
n

因而|Sn-2|<class="stub"1
n
(n+2)(class="stub"1
2
)
n
<class="stub"1
n
⇔n(n+2)<2n
问题转化为证明:当n≥6时,n(n+2)<2n,…(9分)
采用数学归纳法.
①当n=6时,n(n+2)=6×8=48,2n=26=64,48<64,
此时不等式成立,…(10分)
②假设n=k(k≥6)时不等式成立,即k(k+2)<2k,…(11分)
那么当n=k+1时,2k+1=2×2k>2k(k+2)=2k2+4k=k2+4k+k2
>k2+4k+3=(k+1)(k+3)=(k+1)(k+1)+2
这说明,当n=k+1时不等式也成立…(13分)
综上可知,当n≥6时,n(n+2)<2n,成立,原命题得证.…(14分)

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