已知f(x)=-4+1x2数列{an}的前n项和为Sn,点Pn(an,-1an+1)在曲线y=f(x)上(n∈N*)且a1=1,an>0.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)数列{bn}的前n项和为

题目简介

已知f(x)=-4+1x2数列{an}的前n项和为Sn,点Pn(an,-1an+1)在曲线y=f(x)上(n∈N*)且a1=1,an>0.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)数列{bn}的前n项和为

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已知f(x)=-
4+
1
x2
数列{an}的前n项和为Sn,点Pnan,-
1
an+1
)
在曲线y=f(x)上(n∈N*)且a1=1,an>0.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)数列{bn}的前n项和为Tn且满足
Tn+1
an2
=
Tn
an+12
+16a2-8n-3,设定b1的值使得数{bn}是等差数列;(Ⅲ)求证:Sn
1
2
4n+1
-1,n∈N*
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(Ⅰ)-class="stub"1
an+1
=f(an) =-
4+class="stub"1
an2
,且an>0,
class="stub"1
an+1
=
4+class="stub"1
an2

class="stub"1
an+12
-class="stub"1
an2
=4(n∈N+)

∴数列{ class="stub"1
an2
}是等差数列,首项 class="stub"1
a12
公差d=4
class="stub"1
a12
=1+4(n-1)

an2=class="stub"1
4n-3

∵an>0
an=class="stub"1
4n-3
(n∈N+)
(4分)(6分)
(Ⅱ)由题设知(4n-3)Tn+1=(4n+1)Tn+(4n+1)(4n-3).
Tn+1
4n+1
-
Tn
4n-3
=1

Tn
4n-3
=cn
,则上式变为cn+1-cn=1.
∴{cn}是等差数列.
∴cn=c1+n-1=
T1
1
+n-1=b1+n-1=n.
Tn
4n-3
=T 1+n -1
,若{bn}为等差数列,则T1=1,即b=1,
即Tn=n(4n-3)=4n2-3n.
∴当n=1时,bn=T1=1;
当n≥2时,bn=Tn-Tn-1=4n2-3n-4(n-1)2+3(n-1)=8n-7.
经验证n=1时也适合上式.
∴bn=8n-7(n∈N*).
(III)证明:an=class="stub"1
4n-3

an=class="stub"2
2
4n-3
>class="stub"2
4n-3
+
4n+1
=
4n+1
-
4n-3
2

∴Sn=a1+a2+…+an>class="stub"1
2
5
-1)+(
9
-
5
)+…+class="stub"1
2
4n+1
-
4n-3

=class="stub"1
2
4n+1
-1

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