将数列{an}中的所有项按第一排三项,以下每一行比上一行多一项的规则排成如下数表:记表中的第一列数a1,a4,a8,…构成的数列为{bn},已知:①在数列{bn}中,b1=1,对于任何n∈N-数学

题目简介

将数列{an}中的所有项按第一排三项,以下每一行比上一行多一项的规则排成如下数表:记表中的第一列数a1,a4,a8,…构成的数列为{bn},已知:①在数列{bn}中,b1=1,对于任何n∈N-数学

题目详情

将数列{an}中的所有项按第一排三项,以下每一行比上一行多一项的规则排成如下数表:记表中的第一列数a1,a4,a8,…构成的数列为{bn},已知:
①在数列{bn}中,b1=1,对于任何n∈N*,都有(n+1)bn+1-nbn=0;
②表中每一行的数按从左到右的顺序均构成公比为q(q>0)的等比数列;
a1   a2   a3
a4   a5   a6   a7
a8   a9   a10  a11  a12

a66=
2
5
.请解答以下问题:
(Ⅰ)求数列{bn}的通项公式;
(Ⅱ)求上表中第k(k∈N*)行所有项的和S(k);
(Ⅲ)若关于x的不等式S(k)+
1
k
1-x2
x
x∈[
1
200
 , 
1
20
]
上有解,求正整数k的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(Ⅰ)由(n+1)bn+1-nbn=0,得数列{nbn}为常数列.故nbn=1•b1=1,所以bn=class="stub"1
n
.      
(Ⅱ)∵3+4+…+11=63,
∴表中第一行至第九行共含有{an}的前63项,a66在表中第十行第三列.        
故a66=b10•q2,而b10=class="stub"1
10
,∴q=2.                           
S(k)=
bk( 1-qk+2)
1-q
=class="stub"1
k
2k+2-1 )
.                           
(Ⅲ)f(x)=
1-x2
x
=class="stub"1
x
-x
x∈[class="stub"1
200
 , class="stub"1
20
]
上单调递减,
故f(x)的最小值是f(class="stub"1
20
)=20-class="stub"1
20
.                                        
若关于x的不等式S(k)+class="stub"1
k
1-x2
x
x∈[class="stub"1
200
 , class="stub"1
20
]
上有解,
m(k)=S(k)+class="stub"1
k
=class="stub"1
k
2k+2
,则必须m(k)>20-class="stub"1
20
.             
m(k+1)-m(k)=class="stub"1
k+1
2k+3-class="stub"1
k
2k+2=
2k+2( k-1 )
k ( k+1 )
≥0
(或
m(k+1)
m(k)
=class="stub"2k
k+1
≥1

∴m(1)=m(2)=8,函数m(k)当k≥2且k∈N*时单调递增.            
而m(4)=16,m(5)=class="stub"128
5
20-class="stub"1
20
,所以k的取值范围是大于4的一切正整数.

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