已知数列{an},{bn},其中a1=12,数列{an}的前n项和Sn=n2an(n≥1),数列{bn}满足b1=2,bn+1=2bn.(Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式;(Ⅱ)是否存在自然数m

题目简介

已知数列{an},{bn},其中a1=12,数列{an}的前n项和Sn=n2an(n≥1),数列{bn}满足b1=2,bn+1=2bn.(Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式;(Ⅱ)是否存在自然数m

题目详情

已知数列{an},{bn},其中a1=
1
2
,数列{an}的前n项和Sn=n2an(n≥1),数列{bn}满足b1=2,bn+1=2bn
(Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式;
(Ⅱ)是否存在自然数m,使得对于任意n∈N*,n≥2,有1+
1
b1
+
1
b2
+…+
1
bn-1
m-8
4
恒成立?若存在,求出m的最小值;
(Ⅲ)若数列{cn}满足cn=
1
nan
,n为奇数
bn,n为偶数
当n是偶数时,求数列{cn}的前n项和Tn
题型:解答题难度:中档来源:东城区一模

答案

(Ⅰ)因为Sn=n2an(n≥1),
当n≥2时,Sn-1=(n-1)2an-1.
所以an=Sn-Sn-1=n2an-(n-1)2an-1.
所以(n+1)an=(n-1)an-1.
an
an-1
=class="stub"n-1
n+1

a1=class="stub"1
2

所以an=
an
an-1
an-1
an-2
an-2
an-3
••
a3
a2
a2
a1
a1
=class="stub"n-1
n+1
•class="stub"n-2
n
•class="stub"n-3
n-1
••class="stub"2
4
•class="stub"1
3
•class="stub"1
2
=class="stub"1
n(n+1)

当n=1时,上式成立
因为b1=2,bn+1=2bn,
所以{bn}是首项为2,公比为2的等比数列,故bn=2n.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,bn=2n.
1+class="stub"1
b1
+class="stub"1
b2
++class="stub"1
bn-1
=1+class="stub"1
2
+class="stub"1
22
++class="stub"1
2n-1
=2-class="stub"1
2n-1

假设存在自然数m,使得对于任意n∈N*,n≥2,有1+class="stub"1
b1
+class="stub"1
b2
++class="stub"1
bn-1
<class="stub"m-8
4
恒成立,
2-class="stub"1
2n-1
<class="stub"m-8
4
恒成立.
class="stub"m-8
4
≥2
,解得m≥16.
所以存在自然数m,使得对于任意n∈N*,n≥2,有1+class="stub"1
b1
+class="stub"1
b2
++class="stub"1
bn-1
<class="stub"m-8
4
恒成立.此时m的最小值为16.
(Ⅲ)当n是奇数时,Tn=[class="stub"1
a1
+class="stub"1
3a3
++class="stub"1
nan
]+(b2+b4++bn-1)

=(2+4++n+1)+(22+24++2n-1)=class="stub"2+n+1
2
•class="stub"n+1
2
+
4(1-4class="stub"n-1
2
)
1-4

=
n2+4n+3
4
+class="stub"4
3
(2n-1-1)

当n是偶数时,Tn=[class="stub"1
a1
+class="stub"1
3a3
++class="stub"1
(n-1)an-1
]+(b2+b4++bn)

=(2+4++n)+(22+24++2n)=class="stub"2+n
2
•class="stub"n
2
+
4(1-4class="stub"n
2
)
1-4
=
n2+2n
4
+class="stub"4
3
(2n-1)

因此Tn=
n2+4n+3
4
+class="stub"4
3
(2n-1-1),当n为奇数时
n2+2n
4
+class="stub"4
3
(2n-1),当n为偶数时.

更多内容推荐