已知数列{an}的前n项和记为Sn,且a1=2,an+1=Sn+2.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)若cn=nan,求数列{cn}的前n项和Tn.-数学

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已知数列{an}的前n项和记为Sn,且a1=2,an+1=Sn+2.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)若cn=nan,求数列{cn}的前n项和Tn.-数学

题目详情

已知数列{an}的前n项和记为Sn,且a1=2,an+1=Sn+2.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)若cn=
n
an
,求数列{cn}的前n项和Tn
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(Ⅰ)∵an+1=Sn+2,∴n≥2时,an=Sn-1+2
两式相减可得an+1-an=Sn-Sn-1=an,∴an+1=2an(n≥2)
∵a1=2,∴a2=S1+2=4,∴n≥2时,an=4•2n-2=2n,
∵a1=2,也符合上式,∴数列{an}的通项公式为an=2n;
(Ⅱ)cn=class="stub"n
an
=n•(class="stub"1
2
)n

∴Tn=1×class="stub"1
2
+2×(class="stub"1
2
)2
+…+n•(class="stub"1
2
)
n

class="stub"1
2
Tn=1×(class="stub"1
2
)2
+…+(n-1)•(class="stub"1
2
)
n
+n•(class="stub"1
2
)
n+1

①-②:class="stub"1
2
Tn=class="stub"1
2
+(class="stub"1
2
)
2
+…+(class="stub"1
2
)
n
-n•(class="stub"1
2
)
n+1
=1-(class="stub"1
2
)
n
-n•(class="stub"1
2
)
n+1

∴Tn=2-(class="stub"1
2
)
n
•(n+2)

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