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已知p（p≥2）是给定的某个正整数，数列{an}满足：a1=1，（k+1）ak+1=p（k-p）ak，其中k=1，2，3，…，p-1．（I）设p=4，求a2，a3，a4；（II）求a1+a2+a3+…

题目简介

已知p（p≥2）是给定的某个正整数，数列{an}满足：a1=1，（k+1）ak+1=p（k-p）ak，其中k=1，2，3，…，p-1．（I）设p=4，求a2，a3，a4；（II）求a1+a2+a3+…

题目详情

已知p（p≥2）是给定的某个正整数，数列{an}满足：a1=1，（k+1）ak+1=p（k-p）ak，其中k=1，2，3，…，p-1．
（I）设p=4，求a2，a3，a4；
（II）求a1+a2+a3+…+ap．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）由（k+1）ak+1=p（k-p）ak得
ak+1
ak
=p×class="stub"k-p
k+1
，k=1，2，3，…，p-1
即
a2
a1
=-4×class="stub"4-1
2
=-6，a2=-6a1=-6；
a3
a2
=-4×class="stub"4-2
3
=-class="stub"8
3
，a3=16，
a4
a3
=-4×class="stub"4-3
4
=-1，a4=-16； （3分）
（Ⅱ）由（k+1）ak+1=p（k-p）ak
得：
ak+1
ak
=p×class="stub"k-p
k+1
，k=1，2，3，…，p-1
即
a2
a1
=-p×class="stub"p-1
2
，
a3
a2
=-p×class="stub"p-2
3
，…，
ak
ak-1
=-p×
p-(k-1)
k
，
以上各式相乘得
ak
a1
=(-p)k-1×
(p-1)(p-2)(p-3)…(p-k+1)
k!
 （5分）
∴ak=(-p)k-1×
(p-1)(p-2)(p-3)…(p-k+1)
k!

=(-p)k-1×
(p-1)!
k!(p-k)!
=
(-p)k-1
p
×class="stub"p!
k!(p-k)!

=-(-p)k-2×
Ckp
=-class="stub"1
p2
Ckp
(-p)k，k=1，2，3，…，p （7分）
∴a1+a2+a3+…+ap=-class="stub"1
p2
[
C1p
(-p)1+
C2p
(-p)2+
C3p
(-p)3+…+
Cpp
(-p)p]=-class="stub"1
p2
[(1-p)p-1] （10分）

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