已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=14,an+1=Sn+t16(n∈N*,t为常数).(Ⅰ)若数列{an}为等比数列,求t的值;(Ⅱ)若t>-4,bn=lgan+1,数列{bn}前n项和为Tn

题目简介

已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=14,an+1=Sn+t16(n∈N*,t为常数).(Ⅰ)若数列{an}为等比数列,求t的值;(Ⅱ)若t>-4,bn=lgan+1,数列{bn}前n项和为Tn

题目详情

已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=
1
4
,an+1=Sn+
t
16
(n∈N*,t为常数).
(Ⅰ)若数列{an}为等比数列,求t的值;
(Ⅱ)若t>-4,bn=lgan+1,数列{bn}前n项和为Tn,当且仅当n=6时Tn取最小值,求实数t的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:浙江模拟

答案

(I)∵an+1=Sn+class="stub"t
16
…(1);an=Sn-1+class="stub"t
16
…(2)

(1)-(2)得:an+1=2an(n≥2)…(2分)
∵数列{an}为等比数列,∴
a2
a1
=2
…..(4分)
a2=S1+class="stub"t
16
=class="stub"4+t
16
,a1=class="stub"1
4

class="stub"4+t
4
=2
,∴t=4…(6分)
(II)a2=class="stub"4+t
16
,an+1=2an(n>1),∴an+1=class="stub"4+t
16
2n-1(n∈N*)
….(8分)
∵a2,a3,a4…an+1成等比数列,bn=lgan+1,
∴数列{bn}是等差数列
∵数列{bn}前n项和为Tn,当且仅当n=6时,Tn取最小值,∴b6<0且b7>0…(10分)
可得0<a7<1且a8>1,…(12分)
∴0<16+4t<1且32+2t>1,
-class="stub"15
4
<t<-class="stub"7
2
…(14分)

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