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> 已知等差数列{an}的公差不为零,且a3=5,a1,a2.a5成等比数列(I)求数列{an}的通项公式:(II)若数列{bn}满足b1+2b2+4b3+…+2n-1bn=an且数列{bn}的前n项和T
已知等差数列{an}的公差不为零,且a3=5,a1,a2.a5成等比数列(I)求数列{an}的通项公式:(II)若数列{bn}满足b1+2b2+4b3+…+2n-1bn=an且数列{bn}的前n项和T
题目简介
已知等差数列{an}的公差不为零,且a3=5,a1,a2.a5成等比数列(I)求数列{an}的通项公式:(II)若数列{bn}满足b1+2b2+4b3+…+2n-1bn=an且数列{bn}的前n项和T
题目详情
已知等差数列{a
n
}的公差不为零,且a
3
=5,a
1
,a
2
.a
5
成等比数列
(I)求数列{a
n
}的通项公式:
(II)若数列{b
n
}满足b
1
+2b
2
+4b
3
+…+2n
-1
b
n
=a
n
且数列{b
n
}的前n项和T
n
试比较T
n
与
3n-1
n+1
的大小.
题型:解答题
难度:中档
来源:嘉兴一模
答案
(Ⅰ)在等差数列中,设公差为d≠0,
由题意
a
1
a
5
=
a
22
a
3
=5
,∴
a
1
(
a
1
+4d)=(
a
1
+d
)
2
a
1
+2d=5
,
解得
a
1
=1
d=2
.
∴an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1.
(Ⅱ)∵b1+2b2+4b3+…+2n-1bn=an,①
b1+2b2+4b3+…+2
n
-1
b
n
+
2
n
b
n
=
a
n+1
,②
②-①得2nbn+1=2,∴
b
n+1
=
2
1-n
.
当n=1时,b1=a1=1,∴
b
n
=
2
2-n
,当m≥2时
1,当n=1时
,
当n=1时,T1=a1=1,
class="stub"3×1-1
1+1
=1
,此时
T
n
=
class="stub"3n-1
n+1
.
当n≥2时,Tn=1+
4(
class="stub"1
2
2
+
class="stub"1
2
3
+…+
class="stub"1
2
n
)
=
1+
4×
class="stub"1
2
2
(1-
class="stub"1
2
n-1
)
1-
class="stub"1
2
=
3-
class="stub"1
2
n-2
.
又
2
n
=(1+1
)
n
=
C
0n
+
C
1n
+…+
C
nn
>n+1,
∴
class="stub"1
2
n-2
=
class="stub"4
2
n
<
class="stub"4
n+1
,
3-
class="stub"1
2
n-2
>3-
class="stub"4
n+1
=
class="stub"3n-1
n+1
.
∴当n=1时,
T
n
=
class="stub"3n-1
n+1
,当n≥2时,
T
n
>
class="stub"3n-1
n+1
.
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(I)求数列{an}的通项公式:
(II)若数列{bn}满足b1+2b2+4b3+…+2n-1bn=an且数列{bn}的前n项和Tn 试比较Tn与
答案
由题意
解得
∴an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1.
(Ⅱ)∵b1+2b2+4b3+…+2n-1bn=an,①
b1+2b2+4b3+…+2n-1bn+2nbn=an+1,②
②-①得2nbn+1=2,∴bn+1=21-n.
当n=1时,b1=a1=1,∴bn=
当n=1时,T1=a1=1,
当n≥2时,Tn=1+4(
=1+
又2n=(1+1)n=
∴
∴当n=1时,Tn=