首页 > 设数列{an}是公差为d的等差数列，其前n项和为Sn．（1）已知a1=1，d=2，（ⅰ）求当n∈N*时，Sn+64n的最小值；（ⅱ）当n∈N*时，求证：2S1S3+3S2S4+…+n+1SnSn+2＜

设数列{an}是公差为d的等差数列，其前n项和为Sn．（1）已知a1=1，d=2，（ⅰ）求当n∈N*时，Sn+64n的最小值；（ⅱ）当n∈N*时，求证：2S1S3+3S2S4+…+n+1SnSn+2＜

题目简介

设数列{an}是公差为d的等差数列，其前n项和为Sn．（1）已知a1=1，d=2，（ⅰ）求当n∈N*时，Sn+64n的最小值；（ⅱ）当n∈N*时，求证：2S1S3+3S2S4+…+n+1SnSn+2＜

题目详情

设数列{an}是公差为d的等差数列，其前n项和为Sn．
（1）已知a1=1，d=2，
（ⅰ）求当n∈N*时，
Sn+64
n
的最小值；
（ⅱ）当n∈N*时，求证：
2
S1S3
+
3
S2S4
+…+
n+1
SnSn+2
＜
5
16
；
（2）是否存在实数a1，使得对任意正整数n，关于m的不等式am≥n的最小正整数解为3n-2？若存在，则求a1的取值范围；若不存在，则说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：深圳一模

答案

（1）（ⅰ）∵a1=1，d=2，
∴Sn=na1+
n(n-1)d
2
=n2，
Sn+64
n
=n+class="stub"64
n
≥2
n×class="stub"64
n
=16，
当且仅当n=class="stub"64
n
，即n=8时，上式取等号．故
Sn+64
n
的最小值是16．（4分）
（ⅱ）证明：由（ⅰ）知Sn=n2，当n∈N*时，class="stub"n+1
SnSn+2
=class="stub"n+1
n2(n+2)2
=class="stub"1
4
[class="stub"1
n2
-class="stub"1
(n+2)2
]，（6分）class="stub"2
S1S3
+class="stub"3
S2S4
+…+class="stub"n+1
SnSn+2
=class="stub"1
4
(class="stub"1
12
-class="stub"1
32
)+class="stub"1
4
(class="stub"1
22
-class="stub"1
42
)+…+class="stub"1
4
[class="stub"1
n2
-class="stub"1
(n+2)2
]=class="stub"1
4
(class="stub"1
12
+class="stub"1
22
+…+class="stub"1
n2
)-class="stub"1
4
[class="stub"1
32
+class="stub"1
52
+…+class="stub"1
(n+1)2
+class="stub"1
(n+2)2
]=class="stub"1
4
[class="stub"1
12
+class="stub"1
22
-class="stub"1
(n+1)2
-class="stub"1
(n+2)2
]，（8分）
∵class="stub"1
(n+1)2
+class="stub"1
(n+2)2
＞0，∴class="stub"2
S1S3
+class="stub"3
S2S4
+…+class="stub"n+1
SnSn+2
＜class="stub"1
4
(class="stub"1
12
+class="stub"1
22
)＜class="stub"5
16
．（9分）
（2）假设对∀n∈N*，关于m的不等式am=a1+（m-1）d≥n的最小正整数解为cn=3n-2，
当n=1时，a1+（c1-1）d=a1≥1；（10分）
当n≥2时，恒有
a1+(cn-1)d≥n
a1+(cn-2)d＜n
，即
(3d-1)n+(a1-3d)≥0
(3d-1)n+(a1-4d)＜0
，
从而
3d-1≥0
(3d-1)×2+(a1-3d)≥0
3d-1≤0
(3d-1)×2+(a1-4d)＜0
⇔d=class="stub"1
3
，1≤a1＜class="stub"4
3
．（12分）
当d=class="stub"1
3
，1≤a1＜class="stub"4
3
时，对∀n∈N*，且n≥2时，当正整数m＜cn时，
有a1+class="stub"m-1
3
＜a1+
cn-1
3
且a1+
cn-1
3
＞n．（13分）
所以存在这样的实数a1符合题意且a1的取值范围是[1，class="stub"4
3
)．

更多内容推荐

Copyright © 2018-2020 360优课网