已知正数数列{cn}的前n项和为Sn,且满足Sn+cn=1(n∈N*).(1)求数列{cn}的通项公式;(2)设an=1cn,探究是否存在数列{bn},使得a1b1+a2b2+…+anbn=(2n一1

题目简介

已知正数数列{cn}的前n项和为Sn,且满足Sn+cn=1(n∈N*).(1)求数列{cn}的通项公式;(2)设an=1cn,探究是否存在数列{bn},使得a1b1+a2b2+…+anbn=(2n一1

题目详情

已知正数数列{cn}的前n项和为Sn,且满足Sn+cn=1(n∈N*).
(1)求数列{cn}的通项公式;
(2)设an=
1
cn
,探究是否存在数列{bn},使得a1b1+a2b2+…+anbn=(2n一1)22n+1+2对一切正整数n都成立?若存在,请求出数列{bn}的通项公式,若不存在,请说明理由;
(3)若(2)探究出存在数列{bn},则求数列{bn•cn}的前n项的和Tn;若(2)探究出不存在数列{bn},则请计算数列{
2n+1
2n
}的前n项和.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)当n=1时,S1+c1=1,即2c1=1,故c1=class="stub"1
2
(1分)
当n≥2时,Sn+cn=1,Sn-1+cn-1=1,两式相减,得(Sn-Sn-1)+(cn-cn-1)=0,
即2cn=cn-1,
所以数列{cn}是首项为class="stub"1
2
,公比为class="stub"1
2
的等比数列,
所以cn=(class="stub"1
2
)
n
.(3分)
(2)因为an=class="stub"1
cn

所以an=2n.(4分)
若存在数列{bn},使得a1b1+a2b2+…+anbn=(2n一1)2n+1+2对一切正整数n都成立,
则a1b1+a2b2+…+an-1bn-1=(2n一3)2n+2(n≥2),(6分)
两式相减,得anbn=2n(2n+1)(n≥2),解得bn=2n+1(n≥2);
由a1b1=6,得b1=3,符合上式,所以bn=2n+1(n∈N*).
所以存在符合条件的数列{bn},其通项公式为bn=2n+1(n∈N*).(8分)
(3)因为bn•cn=class="stub"2n+1
2n
,故数列{bn•cn}的前n项的和Tn=class="stub"3
2
+class="stub"5
22
+class="stub"7
23
+…+class="stub"2n+1
2n

所以class="stub"1
2
Tn=class="stub"3
22
+class="stub"5
23
+class="stub"7
24
+…+class="stub"2n+1
2n+1

所以Tn-class="stub"1
2
Tn=class="stub"3
2
+class="stub"2
22
+class="stub"2
23
+class="stub"2
24
+…+class="stub"2
2n
-class="stub"2n+1
2n+1
=class="stub"3
2
+
class="stub"1
2
(1-class="stub"1
2n-1
)
1-class="stub"1
2
-class="stub"2n+1
2n+1
(11分)
class="stub"1
2
Tn=class="stub"5
2
-class="stub"1
2n-1
-class="stub"2n+1
2n+1
=class="stub"5
2
-class="stub"2n+5
2n+1

所以Tn=5-class="stub"2n+5
2n
(13分)

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