已知:对于数列{an},定义{△an}为数列{an}的一阶差分数列,其中△an=an+1-an,(1)若数列{an}的通项公式an=52n2-32n(n∈N*),求:数列{△an}的通项公式;(2)若

题目简介

已知:对于数列{an},定义{△an}为数列{an}的一阶差分数列,其中△an=an+1-an,(1)若数列{an}的通项公式an=52n2-32n(n∈N*),求:数列{△an}的通项公式;(2)若

题目详情

已知:对于数列{an},定义{△an}为数列{an}的一阶差分数列,其中△an=an+1-an
(1)若数列{an}的通项公式an=
5
2
n2-
3
2
n
(n∈N*),求:数列{△an}的通项公式;
(2)若数列{an}的首项是1,且满足△an-an=2n
①设bn=
an
2n
,求证:数列{bn}是等差数列,并求数列{bn}的通项公式;
②求:数列{an}的通项公式及前n项和Sn
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)依题意△an=an+1-an,
∴△an=[class="stub"5
2
(n+1)2-class="stub"3
2
(n+1)]-[class="stub"5
2
n2-class="stub"3
2
n]=5n+1
(2)①由△an-an=2n⇒an+1-an-an=2n⇒an+1=2an+2n.
bn=
an
2n

∴bn+1-bn=
an+1
2n+1
-
an
2n
=
an+1-2an
2n+1
=
2n
2n+1
=class="stub"1
2
,且b1=
a1
2
=class="stub"1
2

故{bn}是首项为class="stub"1
2
,公差为class="stub"1
2
的等差数列
∴bn=class="stub"n
2

②∵bn=
an
2n

∴an=class="stub"n
2
2n
=n•2n-1
∴sn=1•20+2×21+3×22+…+n•2n-1(1)   
2sn=1•21+2•22+…+n•2n(2)
(1)-(2)得-sn=1+2+22+…+2n-1-n•2n
=
1-2n
1-2
-n•2n
∴sn=n•2n-2n+1
=(n-1)2n+1.

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