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题目简介
已知:对于数列{an},定义{△an}为数列{an}的一阶差分数列,其中△an=an+1-an,(1)若数列{an}的通项公式an=52n2-32n(n∈N*),求:数列{△an}的通项公式;(2)若
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已知:对于数列{a
n
},定义{△a
n
}为数列{a
n
}的一阶差分数列,其中△a
n
=a
n+1
-a
n
,
(1)若数列{a
n
}的通项公式
a
n
=
5
2
n
2
-
3
2
n
(n∈N
*
),求:数列{△a
n
}的通项公式;
(2)若数列{a
n
}的首项是1,且满足△a
n
-a
n
=2
n
,
①设
b
n
=
a
n
2
n
,求证:数列{b
n
}是等差数列,并求数列{b
n
}的通项公式;
②求:数列{a
n
}的通项公式及前n项和S
n
.
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
(1)依题意△an=an+1-an,
∴△an=[
class="stub"5
2
(n+1)2-
class="stub"3
2
(n+1)]-[
class="stub"5
2
n
2
-
class="stub"3
2
n]=5n+1
(2)①由△an-an=2n⇒an+1-an-an=2n⇒an+1=2an+2n.
∵
b
n
=
a
n
2
n
,
∴bn+1-bn=
a
n+1
2
n+1
-
a
n
2
n
=
a
n+1
-2
a
n
2
n+1
=
2
n
2
n+1
=
class="stub"1
2
,且
b
1
=
a
1
2
=
class="stub"1
2
,
故{bn}是首项为
class="stub"1
2
,公差为
class="stub"1
2
的等差数列
∴bn=
class="stub"n
2
②∵
b
n
=
a
n
2
n
,
∴an=
class="stub"n
2
•
2
n
=n•2n-1
∴sn=1•20+2×21+3×22+…+n•2n-1(1)
2sn=1•21+2•22+…+n•2n(2)
(1)-(2)得-sn=1+2+22+…+2n-1-n•2n
=
1-
2
n
1-2
-n•2n
∴sn=n•2n-2n+1
=(n-1)2n+1.
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①设bn=
②求:数列{an}的通项公式及前n项和Sn.
答案
∴△an=[
(2)①由△an-an=2n⇒an+1-an-an=2n⇒an+1=2an+2n.
∵bn=
∴bn+1-bn=
故{bn}是首项为
∴bn=
②∵bn=
∴an=
∴sn=1•20+2×21+3×22+…+n•2n-1(1)
2sn=1•21+2•22+…+n•2n(2)
(1)-(2)得-sn=1+2+22+…+2n-1-n•2n
=
∴sn=n•2n-2n+1
=(n-1)2n+1.