已知数列{an}是等差数列,且a1=2,12an+1-12an=2(cos2π6-sin2π6)(1)求数列{an}的通项公式;(2)令bn=an•3n+n,求数列{bn}的前n项和Tn.-数学

题目简介

已知数列{an}是等差数列,且a1=2,12an+1-12an=2(cos2π6-sin2π6)(1)求数列{an}的通项公式;(2)令bn=an•3n+n,求数列{bn}的前n项和Tn.-数学

题目详情

已知数列{an}是等差数列,且a1=2,
1
2
an+1-
1
2
an=2
(cos2
π
6
-sin2
π
6
)

(1)求数列{an}的通项公式;
(2)令bn=an3n+n,求数列{bn}的前n项和Tn
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)∵a1=2,class="stub"1
2
an+1-class="stub"1
2
an=2
(cos2class="stub"π
6
-sin2class="stub"π
6
)
=2cosclass="stub"1
3
π
=1
∴an+1-an=2
∴数列{an}是以2为首项,以2为公差的等差 数列
∴an=2+2(n-1)=2n
(2)∵bn=an3n+n=2n•3n+n
∴Tn=2(1•3+2•32+…+n•3n)+(1+2+…+n)
∴3Tn=2(      1•32+2•33+…+n•3n+1)+3(1+2+…+n)
两式相减可得,-2Tn=2(3+32+33+…+3n-n•3n+1)-2•
n(1+n)
2

=2•
3(1-3n)
1-3
-n(n+1)

=3n+1-3-n(n+1)
∴Tn=
n(n+1)+3-3n+1
2

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