首页 > 已知有穷数列{an}只有2k项（整数k≥2），首项a1=2，设该数列的前n项和为Sn，且Sn=an+1-2a-1(n=1，2，3，…，2k-1)，其中常数a＞1．（1）求{an}的通项公式；（2）若a

已知有穷数列{an}只有2k项（整数k≥2），首项a1=2，设该数列的前n项和为Sn，且Sn=an+1-2a-1(n=1，2，3，…，2k-1)，其中常数a＞1．（1）求{an}的通项公式；（2）若a

题目简介

已知有穷数列{an}只有2k项（整数k≥2），首项a1=2，设该数列的前n项和为Sn，且Sn=an+1-2a-1(n=1，2，3，…，2k-1)，其中常数a＞1．（1）求{an}的通项公式；（2）若a

题目详情

已知有穷数列{an}只有2k项（整数k≥2），首项a1=2，设该数列的前n项和为Sn，且Sn=
an+1-2
a-1
(n=1，2，3，…，2k-1)，其中常数a＞1．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若a=2
2
2k-1
，数列{bn}满足bn=log2an，（n=1，2，3，…，2k），Tn=
1
n
(b1+b2+b3+…+bn)，求证：1≤Tn≤2．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）n≥2时，Sn=
an+1-2
a-1
，Sn-1=
an-2
a-1

两式相减得Sn-Sn-1=
an+1-an
a-1
，an=
an+1-an
a-1
，
∴an+1=a•an，
当n=1时，a1=S1=
a2-2
a-1
=2，
∴a2=2a，
则，数列{an}的通项公式为an=2•an-1．
（2）把数列{an}的通项公式代入数列{bn}的通项公式，
可得bn=class="stub"1
n
log2(a1a2an)
=class="stub"1
n
(log2a1+log2a2++log2an)
=class="stub"1
n
[1+(1+class="stub"2
2k-1
)+(1+class="stub"4
2k-1
)++(1+class="stub"2n-2
2k-1
)]
=class="stub"1
n
[n+
n(n-1)
2
•class="stub"2
2k-1
]=1+class="stub"n-1
2k-1

∵1≤n≤2k，
故1≤bn≤2

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