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> 设Sn是各项均为非零实数的数列{an}的前n项和,给出如下两个命题上:命题p:{an}是等差数列;命题q:等式1a1a2+1a2a3+…+1anan+1=kn+ba1an+1对任意n(n∈N*)恒成立
设Sn是各项均为非零实数的数列{an}的前n项和,给出如下两个命题上:命题p:{an}是等差数列;命题q:等式1a1a2+1a2a3+…+1anan+1=kn+ba1an+1对任意n(n∈N*)恒成立
题目简介
设Sn是各项均为非零实数的数列{an}的前n项和,给出如下两个命题上:命题p:{an}是等差数列;命题q:等式1a1a2+1a2a3+…+1anan+1=kn+ba1an+1对任意n(n∈N*)恒成立
题目详情
设S
n
是各项均为非零实数的数列{a
n
}的前n项和,给出如下两个命题上:命题p:{a
n
}是等差数列;命题q:等式
1
a
1
a
2
+
1
a
2
a
3
+…+
1
a
n
a
n+1
=
kn+b
a
1
a
n+1
对任意n(n∈N
*
)恒成立,其中k,b是常数.
(1)若p是q的充分条件,求k,b的值;
(2)对于(1)中的k与b,问p是否为q的必要条件,请说明理由;
(3)若p为真命题,对于给定的正整数n(n>1)和正数M,数列{a
n
}满足条件
a
21
+
a
2n+1
≤M
,试求S
n
的最大值.
题型:解答题
难度:中档
来源:盐城二模
答案
(1)设{an}的公差为d,则原等式可化为
class="stub"1
d
(
class="stub"1
a
1
-
class="stub"1
a
2
+
class="stub"1
a
2
-
class="stub"1
a
3
+…+
class="stub"1
a
n
-
class="stub"1
a
n+1
)=
class="stub"kn+b
a
1
a
n+1
,
所以
class="stub"1
d
•
class="stub"nd
a
1
a
n+1
=
class="stub"kn+b
a
1
a
n+1
,
即(k-1)n+b=0对于n∈N*恒成立,所以k=1,b=0.…(4分)
(2)当k=1,b=0时,假设p是q的必要条件,即“若
class="stub"1
a
1
a
2
+
class="stub"1
a
2
a
3
+…+
class="stub"1
a
n
a
n+1
=
class="stub"n
a
1
a
n+1
①对于任意的n(n∈N*)恒成立,则{an}为等差数列”.
当n=1时,
class="stub"1
a
1
a
2
=
class="stub"1
a
1
a
2
显然成立.…(6分)
当n≥2时,若
class="stub"1
a
1
a
2
+
class="stub"1
a
2
a
3
+…+
class="stub"1
a
n-1
a
n
=
class="stub"n-1
a
1
a
n+1
②,
由①-②得,
class="stub"1
a
n
a
n+1
=
class="stub"1
a
1
(
class="stub"n
a
n+1
-
class="stub"n-1
a
n
),即nan-(n-1)an+1=a1③.
当n=2时,a1+a3=2a2,即a1、a2、a3成等差数列,
当n≥3时,(n-1)an-1-(n-2)an=a1④,即2an=an-1+an+1.所以{an}为等差数列,即p是q的必要条件.…(10分)
(3)由
a
21
+
a
2n+1
≤M,可设a1=rcosθ,an+1=rsinθ,所以r≤
M
.
设{an}的公差为d,则an+1-a1=nd=rsinθ-rcosθ,
所以d=
class="stub"rsinθ-rcosθ
n
,
所以an=rsinθ-
class="stub"rsinθ-rcosθ
n
,
Sn=
(
a
1
+
a
n
)n
2
=
(n+1)cosθ+(n-1)sinθ
2
r≤
(n+1)
2
+
(n-1)
2
2
•
M
=
2
2
M(
n
2
+1)
,
所以Sn的最大值为
2
2
M(
n
2
+1)
…(16分)
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各项为正数的数列{an},a1=a,其前
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已知数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2
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设Sn是各项均为非零实数的数列{an}的前n项和,给出如下两个命题上:命题p:{an}是等差数列;命题q:等式1a1a2+1a2a3+…+1anan+1=kn+ba1an+1对任意n(n∈N*)恒成立
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答案
所以
即(k-1)n+b=0对于n∈N*恒成立,所以k=1,b=0.…(4分)
(2)当k=1,b=0时,假设p是q的必要条件,即“若
当n=1时,
当n≥2时,若
由①-②得,
当n=2时,a1+a3=2a2,即a1、a2、a3成等差数列,
当n≥3时,(n-1)an-1-(n-2)an=a1④,即2an=an-1+an+1.所以{an}为等差数列,即p是q的必要条件.…(10分)
(3)由
设{an}的公差为d,则an+1-a1=nd=rsinθ-rcosθ,
所以d=
所以an=rsinθ-
Sn=
所以Sn的最大值为