首页 > 设n∈N*，圆Cn：x2+y2=R2n（Rn＞0）与y轴正半轴的交点为M，与曲线y=x的交点为N（1n，yn），直线MN与x轴的交点为A（an，0）．（1）用n表示Rn和an；（2）求证：an＞an+

设n∈N*，圆Cn：x2+y2=R2n（Rn＞0）与y轴正半轴的交点为M，与曲线y=x的交点为N（1n，yn），直线MN与x轴的交点为A（an，0）．（1）用n表示Rn和an；（2）求证：an＞an+

题目简介

设n∈N*，圆Cn：x2+y2=R2n（Rn＞0）与y轴正半轴的交点为M，与曲线y=x的交点为N（1n，yn），直线MN与x轴的交点为A（an，0）．（1）用n表示Rn和an；（2）求证：an＞an+

题目详情

设n∈N*，圆Cn：x2+y2=
R2n
（Rn＞0）与y轴正半轴的交点为M，与曲线y=
x
的交点为N（
1
n
，yn），直线MN与x轴的交点为A（an，0）．
（1）用n表示Rn和an；
（2）求证：an＞an+1＞2；
（3）设Sn=a1+a2+a3+…+an，Tn=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
，求证：
7
5
＜
Sn-2n
Tn
＜
3
2
．
题型：解答题难度：中档来源：佛山一模

答案

（1）∵N（class="stub"1
n
，yn）在曲线y=
x
上，∴N（class="stub"1
n
，
class="stub"1
n
）
代入圆Cn：x2+y2=
R2n
，可得Rn=
n+1
n
，∴M（0，
n+1
n
）
∵直线MN与x轴的交点为A（an，0）．
∴
class="stub"1
n
-0
class="stub"1
n
-an
=
class="stub"1
n
-
n+1
n
class="stub"1
n
-0

∴an=1+class="stub"1
n
+
1+class="stub"1
n

（2）证明：∵1+class="stub"1
n+1
＞1，
1+class="stub"1
n+1
＞1
∴an+1=1+class="stub"1
n+1
+
1+class="stub"1
n+1
＞2
∵1+class="stub"1
n
＞1+class="stub"1
n+1
，
1+class="stub"1
n
＞
1+class="stub"1
n+1

∴an=1+class="stub"1
n
+
1+class="stub"1
n
＞1+class="stub"1
n+1
+
1+class="stub"1
n+1

∴an＞an+1＞2；
（3）证明：先证当0≤x≤1时，1+(
2
-1)x≤
1+x
≤1+class="stub"x
2

事实上，1+(
2
-1)x≤
1+x
≤1+class="stub"x
2
等价于[1+(
2
-1)x]2≤1+x≤(1+class="stub"x
2
)2
等价于1+2(
2
-1)x+(3-2
2
)x2≤1+x≤1+x+
x2
4

等价于(2
2
-3)x+(3-2
2
)x2≤0≤
x2
4

后一个不等式显然成立，前一个不等式等价于x2-x≤0，即0≤x≤1
∴当0≤x≤1时，1+(
2
-1)x≤
1+x
≤1+class="stub"x
2

∴1+(
2
-1)×class="stub"1
n
≤
1+class="stub"1
n
＜1+class="stub"1
2n

∴2+
2
×class="stub"1
n
≤an=1+class="stub"1
n
+
1+class="stub"1
n
＜2+class="stub"3
2n
（等号仅在n=1时成立）
求和得2n+
2
×Tn≤Sn＜2n+class="stub"3
2
Tn
∴class="stub"7
5
＜
Sn-2n
Tn
＜class="stub"3
2
．

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