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已知数列{an}中，a1=1，an＜an+1，设bn=an+1-anan+1•an+1，Sn=b1+b2+…+bn，求证：（Ⅰ）bn＜2(1an-1an+1)；（Ⅱ）若数列{an}是公比为q且q≥3的

题目简介

已知数列{an}中，a1=1，an＜an+1，设bn=an+1-anan+1•an+1，Sn=b1+b2+…+bn，求证：（Ⅰ）bn＜2(1an-1an+1)；（Ⅱ）若数列{an}是公比为q且q≥3的

题目详情

已知数列{an}中，a1=1，an＜an+1，设bn=
an+1-an
an+1•
an+1
，Sn=b1+b2+…+bn，求证：
（Ⅰ）bn＜2(
1
an
-
1
an+1
)；
（Ⅱ）若数列{an}是公比为q且q≥3的等比数列，则Sn＜1．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

证明：（Ⅰ）由题意可知an＞0
∵bn-2(class="stub"1
an
-class="stub"1
an+1
)
=
an+1-an
an+1•
an+1
-2(class="stub"1
an
-class="stub"1
an+1
)
=
an+1-an
an+1
an+1
-2
an+1
-
an
an+1
•
an

=
(
an+1
-
an
)(
an+1
•
an
+an-2an+1)
an+1•
an+1
•
an
．
又an＜an+1，∴
an+1
-
an
＞0，
an+1
•
an
＜an+1，
an+1
•
an
+an-2an+1＜0，
则
(
an+1
-
an
)(
an+1
•
an
+an-2an+1)
an+1•
an+1
•
an
＜0．
∴bn＜2(class="stub"1
an
-class="stub"1
an+1
)；
（Ⅱ）数列{an}是首项a1=1，公比为q且q≥3的等比数列，
∴an=a1qn-1=qn-1．
∴bn=
an+1-an
an+1•
an+1
=
qn-qn-1
qclass="stub"3n
2
=q-class="stub"n
2
(1-q-1)．
Sn=b1+b2+…+bn
=(1-q-1)(q-class="stub"1
2
+q-class="stub"2
2
+q-class="stub"3
2
+…+q-class="stub"n
2
)
=(1-q-1)•
q-class="stub"1
2
(1-q-class="stub"n
2
)
1-q-class="stub"1
2

=(class="stub"1
q
+class="stub"1
q
)(1-class="stub"1
qn
)．
∵q≥3，∴0＜class="stub"1
q
+class="stub"1
q
≤class="stub"1
3
+class="stub"1
3
=
3
+1
3
＜1．
0＜1-class="stub"1
qn
＜1．
∴Sn=(class="stub"1
q
+class="stub"1
q
)(1-class="stub"1
qn
)＜1．

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